Algèbre linéaire

[Anonyme]

Bonjour,

C'est en fait la deuxième partie d'un problème mais je n'y arrive pas
du tout.

On veut donner ici, grâce à l'algèbre linéaire l'expression de z_1^n
où (z_1= 2 + sqrt3) sous la forme a_n + b_n*sqrt3. Pour n IN,
posons z_n=z_1^n, ainsi que a_n et b_n les uniques entiers tels que
z_n = a_n + b_n*sqrt3.

1) Montrer que les suites (a_n)n;)IN et (b_n)n;)IN ainsi
définies vérifient une relation de récurrence à déterminer. Calculer
a_0 et b_0.

2) Soit f: IR² -> IR² (x,y) -> (2x+3y,x+2y). Montrer que pour tout
entier n, (a_n,b_n) = f^n(1,0).

3) Soit Y IR. Donner l'expression analytique de l'appliquation
f - YIdIR². En déduire qu'il existe exactement deux valeurs de Y
telles que f - YIdIR² ne soit pas injective. On notera Y_2 < Y_1 ces
deux valeurs.

Il y a trois autres questions. Mais d'abord, quelqu'un pourrait-il me
mettre sur la voie pour ces 3 là ?

Merci d'avance !

Jérome

[Anonyme]

Clammy wrote:
> Bonjour,
>
> C'est en fait la deuxième partie d'un problème mais je n'y arrive pas
> du tout.
>
> On veut donner ici, grâce à l'algèbre linéaire l'expression de z_1^n
> où (z_1= 2 + sqrt3) sous la forme a_n + b_n*sqrt3. Pour n IN,
> posons z_n=z_1^n, ainsi que a_n et b_n les uniques entiers tels que
> z_n = a_n + b_n*sqrt3.
>
> 1) Montrer que les suites (a_n)n;)IN et (b_n)n;)IN ainsi
> définies vérifient une relation de récurrence à déterminer. Calculer
> a_0 et b_0.
>
> 2) Soit f: IR² -> IR² (x,y) -> (2x+3y,x+2y). Montrer que pour tout
> entier n, (a_n,b_n) = f^n(1,0).
>
> 3) Soit Y IR. Donner l'expression analytique de l'appliquation
> f - YIdIR². En déduire qu'il existe exactement deux valeurs de Y
> telles que f - YIdIR² ne soit pas injective. On notera Y_2 deux valeurs.
>
> Il y a trois autres questions. Mais d'abord, quelqu'un pourrait-il me
> mettre sur la voie pour ces 3 là ?
>
> Merci d'avance !
>
> Jérome

STP, pourrais-tu éviter les caractères peu communs, qui sont mal rendus,
surtout quand on n'affiche le texte brut (c'est fréquent). "in" convient
très bien pour "appartient à".

1) as-tu déterminé a0 et b0 ? a1 et b1 ne devraient pas poser de
problème non plus. Comme tu cherches une récurrence qui implique z^(n+1)
et z^n, commence par trouver une relation entre les deux et vois ce que
cela donne.

2) f^n(1,0) est un couple, et tu définis donc deux nouvelles suites :
f^n(1,0) = (cn, dn). Saurais-tu les décrire ? Comment ? Il faudra bien
faire intervenir le résultat de 1)...

Hib.

[Anonyme]

> 1) as-tu déterminé a0 et b0 ? a1 et b1 ne devraient pas poser de
> problème non plus. Comme tu cherches une récurrence qui implique z^(n+1)
> et z^n, commence par trouver une relation entre les deux et vois ce que
> cela donne.
Justement, j'ai calculé les premiers termes mais je ne vois pas relation
"évidente".
z0 = 1
z1 = 2 + sqrt(3)
z2 = 7 + 2sqrt(3)
z3 = 26 + 15sqrt(3)
z4 = 97 + 56sqrt(3)

> 2) f^n(1,0) est un couple, et tu définis donc deux nouvelles suites :
> f^n(1,0) = (cn, dn). Saurais-tu les décrire ? Comment ? Il faudra bien
> faire intervenir le résultat de 1)...
>
> Hib.
>

[Anonyme]

Clammy wrote:[color=green]
>>1) as-tu déterminé a0 et b0 ? a1 et b1 ne devraient pas poser de
>>problème non plus. Comme tu cherches une récurrence qui implique z^(n+1)
>>et z^n, commence par trouver une relation entre les deux et vois ce que
>>cela donne.
>
> Justement, j'ai calculé les premiers termes mais je ne vois pas relation
> "évidente".
> z0 = 1
> z1 = 2 + sqrt(3)
> z2 = 7 + 2sqrt(3)
> z3 = 26 + 15sqrt(3)
> z4 = 97 + 56sqrt(3)[/color]

z^(n+1) = z^n * z

z^(n+1) = a(n+1) + b(n+1) sqrt(3)

z^n = ...

z = ...

donc... ?
[color=green]
>>2) f^n(1,0) est un couple, et tu définis donc deux nouvelles suites :
>>f^n(1,0) = (cn, dn). Saurais-tu les décrire ? Comment ? Il faudra bien
>>faire intervenir le résultat de 1)...
>>
>>Hib.
>>
>
>[/color]

[Anonyme]

Clammy a écrit:
> Bonjour,
>
> C'est en fait la deuxième partie d'un problème mais je n'y arrive pas
> du tout.
>
> On veut donner ici, grâce à l'algèbre linéaire l'expression de z_1^n
> où (z_1= 2 + sqrt3) sous la forme a_n + b_n*sqrt3. Pour n IN,
> posons z_n=z_1^n, ainsi que a_n et b_n les uniques entiers tels que
> z_n = a_n + b_n*sqrt3.
>
> 1) Montrer que les suites (a_n)n;)IN et (b_n)n;)IN ainsi
> définies vérifient une relation de récurrence à déterminer. Calculer
> a_0 et b_0.
Tu écris z_1=a_1+b_1*sqrt(3) et z_1^n=a_n+b_n*sqrt(3)
puis tu fais l'opération z_1*z_1^n en développant il vient :
z_1^(n+1) = ... + ...*sqrt(3) les ... sont les expressions donnant
a_(n+1) et b_(n+1) en fonction des a_n et b_n...

>
> 2) Soit f: IR² -> IR² (x,y) -> (2x+3y,x+2y). Montrer que pour tout
> entier n, (a_n,b_n) = f^n(1,0).
ca doit être la traduction de la précédente récurrence car a_0=1 et
b_0=0 (z_1^0=1 = 1 + 0*sqrt(3))

>
> 3) Soit Y IR. Donner l'expression analytique de l'appliquation
> f - YIdIR². En déduire qu'il existe exactement deux valeurs de Y
> telles que f - YIdIR² ne soit pas injective. On notera Y_2 deux valeurs.
>
écrire la valeur de (f-YId)(x,y) donne qq chose comme
((2-Y)x+3y, x+(2-Y)y ) : cherche les valeurs Y1 et Y2 qui donne la même
valeur pour au moins 2 (x,y) distincts.

> Il y a trois autres questions. Mais d'abord, quelqu'un pourrait-il me
> mettre sur la voie pour ces 3 là ?
J'eqça


>
> Merci d'avance !
>
> Jérome