[MP] algèbre linéaire (oral CCP)

[Anonyme]

Eh oui certains exos me semblent plus coriaces... :

I Soit f un endomorphisme de E (ev de dimension 3) tel que f^4=f^2 et
admettant 1 et -1 comme valeurs propres montrer que f est diagonalisable.

f^4=f^2 => X^2(X-1)(X+1) est un polynome annulateur de f
1 et -1 valeurs propres => X[f]=-(X-a)(X-1)(X+1)(avec éventuellement a=1 ou
a=-1).
Si j'appelle P le polynôme minimal de f alors on sait que P|X[f] et
P|X^2(X-1)(X+1)
P=X-1 ou P=X+1 : f=I[E] ou f=-I[E]. dans le cas contraire (X-1)(X+1)|P à
mon avis il me suffit de prouver que P est scindé (et alors soit P=(X-
1)(X+1) soit P=-X[f]) : on aura alors Une CNS de diagonalisabilité de f.
une idée ?

II Soit u un endomorphisme de E K-ev tel qu'il existe P élément de K[X]
ayant 0 comme racine sipmle et tel que P(u)=0.Mq Ker(u^2)=Ker(u) et
E=Ker(u)(+)Im(u) (Ker u et Im u supplémentaire).

on a bien évidemment Ker(u) inclus dans Ker(u^2)
soit x appartenant Ker(u^2) : u^2(x)=0 u(u(x))=0. il me reste à prouver que
y=u(x)=0. Il faut bien évidemment exprimer le fait que 0 soit racine simple
de P mais je ne vois pas comment. une idée ?

Pour la 2ème question, c'est assez simple depuis la 1ère.

Sinon un dervnier : au cours d'une démo je tombe sur : D=P^-1*E*P, avec D
et E latrices diagonales. a t on necessairement D=E ?

Voilà merci à ceux qui pourront m'aider.

Loïc

[Anonyme]

> I Soit f un endomorphisme de E (ev de dimension 3) tel que f^4=f^2 et
> admettant 1 et -1 comme valeurs propres montrer que f est diagonalisable.

X^4 - X^2 = X^2(X-1)(X+1) polynôme annulateur de f donc le polynôme minimal,
forcément divisible par (X-1)(X+1) (car 1 et -1 v.p) et divisant le polynôme
caractéristique (lui de degré au plus 3), vaut donc X*(X-1)*(X+1) ou
(X-1)*(X+1). Dans tous les cas il est scindé, cqfd.

> II Soit u un endomorphisme de E K-ev tel qu'il existe P élément de K[X]
> ayant 0 comme racine sipmle et tel que P(u)=0.Mq Ker(u^2)=Ker(u) et
> E=Ker(u)(+)Im(u) (Ker u et Im u supplémentaire).

uQ(u) =0 où Q a son coefficient a de degré 0 qui est non nul. Mais u^k(x) =
0 pour tout k>=1 ce qui implique a*u(x)=0 et u(x)=0 cqfd.

> Pour la 2ème question, c'est assez simple depuis la 1ère.
>

Ok.

> Sinon un dervnier : au cours d'une démo je tombe sur : D=P^-1*E*P, avec D
> et E latrices diagonales. a t on necessairement D=E ?
>

Clair que non ... et si P était une matrice de permutation ?

--
J.S

[Anonyme]

> uQ(u) =0 où Q a son coefficient a de degré 0 qui est non nul. Mais u^k(x)
=
> 0 pour tout k>=1 ce qui implique a*u(x)=0 et u(x)=0 cqfd.
>

pour tout k>=2 ...

[Anonyme]

En ce lun. 21 juin 2004 19:42:52, "Julien Santini"
fit part au usagers de
fr.education.entraide.maths de ces qqs reflexions :
[color=green]
>> I Soit f un endomorphisme de E (ev de dimension 3) tel que f^4=f^2 et
>> admettant 1 et -1 comme valeurs propres montrer que f est
>> diagonalisable.
>
> X^4 - X^2 = X^2(X-1)(X+1) polynôme annulateur de f donc le polynôme
> minimal, forcément divisible par (X-1)(X+1) (car 1 et -1 v.p) et
> divisant le polynôme caractéristique (lui de degré au plus 3),[/color]

Oui.

vaut
> donc X*(X-1)*(X+1) ou (X-1)*(X+1).

et pourquoi la multiplicité de 1 et -1 ds le polynome minimale est
nécéssairement 1 ? on ne sait rien a priori de leur multiplicité ds le
polynome caractéristique ...

Dans tous les cas il est scindé,
> cqfd.

OK pour le 2ème exo.

Merci

Loïc

[Anonyme]

> et pourquoi la multiplicité de 1 et -1 ds le polynome minimale est
> nécéssairement 1 ? on ne sait rien a priori de leur multiplicité ds le
> polynome caractéristique ...
>

Le polynôme minimal (quand il existe, et il existe toujours en dimension
finie puisque un élément d'une algèbre de dimension finie est toujours
algébriquement lié) est le polynôme unitaire engendrant le noyau du
morphisme d'évaluation: phi(P) = P(u) pour P dans K[X] et u ton
endomorphisme de L(E). Comme K[X] est principal, le noyau est de la forme
P*K[X] et le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur ... ici en
particulier ça te dit que -1 et 1 ont pour multiplicité au plus 1 (et
exactement 1 puisque -1 et 1 sont valeurs propres).

@+

[Anonyme]

En ce mer. 23 juin 2004 20:00:22, "Julien Santini"
fit part au usagers de
fr.education.entraide.maths de ceci :

> Le polynôme minimal (quand il existe, et il existe toujours en dimension
> finie puisque un élément d'une algèbre de dimension finie est toujours
> algébriquement lié) est le polynôme unitaire engendrant le noyau du
> morphisme d'évaluation: phi(P) = P(u) pour P dans K[X] et u ton
> endomorphisme de L(E). Comme K[X] est principal, le noyau est de la forme
> P*K[X] et le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur ... ici en
> particulier ça te dit que -1 et 1 ont pour multiplicité au plus 1 (et
> exactement 1 puisque -1 et 1 sont valeurs propres).

Ah oui OK merci je n'avais pas percuté

[Anonyme]

En ce lun. 21 juin 2004 19:42:52, "Julien Santini"
fit part au usagers de
fr.education.entraide.maths de ceci :
[color=green]
>> Sinon un dervnier : au cours d'une démo je tombe sur : D=P^-1*E*P,
>> avec D et E latrices diagonales. a t on necessairement D=E ?
>>
>
> Clair que non ... et si P était une matrice de permutation ?[/color]

Oui sùr.

En fait je m'étais trompé ds un raisonnemnt, ça me semble mieux ici

on considère deux endomorphisme u et v de E K-ev de dim finis,
diagonalisable, tels que u^3=v^3. mq u=v.

Je pensais que qui dit dimension fini dit algèbre matriciel.
il existe donc deuc bases B et B' tels que les matrices de u et v soit
diagonales : D=P^-1*D'*P, avec D et D' diagonale. u^3=v^3 : D^3=D'^3, de
plus D^3=P^-1*D'^3*P, donc P=P^-1=Id donc D=D'. J'ai bon ?

Loïc

[Anonyme]

> on considère deux endomorphisme u et v de E K-ev de dim finis,
> diagonalisable, tels que u^3=v^3. mq u=v.
>
> Je pensais que qui dit dimension fini dit algèbre matriciel.
> il existe donc deuc bases B et B' tels que les matrices de u et v soit
> diagonales : D=P^-1*D'*P, avec D et D' diagonale.

C'est quoi P, c'est quoi D, c'est quoi D' ?

Là tu dis que les matrices de u et de v sont semblables, donc en clair que u
= v, ce qu'il faut prouver ...

u^3=v^3 : D^3=D'^3, de
> plus D^3=P^-1*D'^3*P, donc P=P^-1=Id donc D=D'. J'ai bon ?
>

On n'a pas nécessairement D^3 = D'^3 parce que rien ne te dit que u et v
sont simultanément diagonalisables ... bref là je comprends rien à ce que tu
racontes, définis tes objets proprement.