Une petite équation fonctionnelle

[acoustica]

Bonjour tout le monde,
Voici une équation fonctionnelle parue dans le magazine Tanjente Sup:
Pour tout entier n;)1 et f(n);)2, f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-11

voilavoila

[Zweig]

f : N -> N ?

[acoustica]

tout à fait

[nodgim]

La suite: 2,13,2,13.....est solution.

[acoustica]

C'est vrai, mais ce n'est pas tout, par exemple 4,5,4,5...convient aussi. En fait, il n'y a que 3 suites qui conviennent, si on neglige l'interchangeabilite de f(n) et f(n+1). Le tout est de prouver que f(n)=f(n+2) et ce sera fini.

:mur: J'en ai deja trop dit. :mur:

[aviateurpilot]

donne
donc

1) si alors et donc
dans ce cas on a ( constante) (il est evident que )
d'ou g ===>
et donc ===>
dans ce cas on a

2) si
alors ===> a partir d'un certain rang
et donc de meme
dans ce cas on a
et on retrouve (meme raisonnement que 1) )que

et on a
et on trouve facilement que

[acoustica]

Toujours aussi efficace aviateurpilot :zen:

Il y a aussi la methode qui consiste a generer une descente infinie:
f(n+2)-f(n)=f(n+3)*(f(n+4)-f(n+3))
donc si f(n+2) et f(n) sont distincts, ¦f(n+2)-f(n)¦>¦f(n+4)-f(n+3)¦, etc...

Si l'une a le merite d'etre courte, la tienne a le merite d'etre carrement plus belle :we: