Au cours de la préparation d'une leçon sur les sous-groupes additifs de
Bon, on a déjà des éléments de réponse :
Pour
D'où,
Pour
D'où,
Mais qu'en est-il de
Une partie dense dans les réelles !?
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Une partie dense dans les réelles !?
par Gathart » 30 Sep 2012, 13:12
J'ai un petit défi pour les mordus de problème ouvert que vous êtes !
Au cours de la préparation d'une leçon sur les sous-groupes additifs de
, je me suis demandé est-ce que , n\in\mathbb{N}\})
est dense dans ? (Le problème a été posté il y a quelque temps dans une rubrique à l'ENS Cachan d'après mes sources)
Bon, on a déjà des éléments de réponse :
Pour\in\mathbb{R}^2)
est dense dans si et seulement si 
D'où,)
dense dans 
Pour\in(\mathbb{R}_+^*)^2)
dense dans si et seulement si
D'où,)
dense dans
Mais qu'en est-il de, n\in\mathbb{N} \})
? dense...ou pas ?
Au cours de la préparation d'une leçon sur les sous-groupes additifs de
Bon, on a déjà des éléments de réponse :
Pour
D'où,
Pour
D'où,
Mais qu'en est-il de
par Luc » 30 Sep 2012, 14:31
Salut,
question intéressante!
est-ce que tu pourrais détailler le passage de est dense dans si et seulement si à
dense dans ?
question intéressante!
est-ce que tu pourrais détailler le passage de
par Gathart » 30 Sep 2012, 14:42
Voilivoilou ^^
\begin{Proposition}
 , \ n\in\mathbb{Z}\}$)
est dense dans 
.
\end{Proposition}
\begin{Preuve}
Montrons que$)
dense dans .
Par
-périodicité =\cos(\mathbb{Z}))
.
On a
dense dans 
.
L'application cosinus est continue et surjective. Montrons que si
dense dans alors $)
dense dans =[-1,1]$)
.
Montrons que
avec \cap O \neq \emptyset$)
.
\cap O)=f^{-1}(f(D))\cap f^{-1}(O) \supset D\cap D\cap f^{-1}(0))
dense dans , on a que \in\mathcal{T}_{\mathbb{R}}$)
(car 
continue) et que  \neq \emptyset$)
(car surjective). Donc \neq \emptyset$)
, \cap O))=f(D)\cap O$)
(par surjectivité).\\
Donc est dense dans .
\end{Preuve}
\begin{Proposition}
\end{Proposition}
\begin{Preuve}
Montrons que
Par
On a
L'application cosinus est continue et surjective. Montrons que si
Montrons que
Donc
\end{Preuve}
par Nightmare » 04 Oct 2012, 13:01
Ne cherchez pas trop longtemps (sauf si vous êtes vraiment motivés), le problème est encore irrésolu par la communauté des mathématiciens à l'heure actuelle.
par Gathart » 04 Oct 2012, 23:18
Bon, d'après JP Marco ce n'est pas bien compliqué XD !
Bon je n'ai pas de réponse évidemment mais j'ai des éléments intéressants.
L'approche diophantienne
Continuer sur cette piste on peut obtenir des choses intéressantes malgré cela je n'aboutit à rien avec mes suites, d'où la seconde chose : construction d'une sous-suite de sous-suite en utilisant correctement l'approche diophantienne. Bon j'en suis à ce point là.
Normalement, une petite correction Lundi ^^
Bon je n'ai pas de réponse évidemment mais j'ai des éléments intéressants.
L'approche diophantienne
Continuer sur cette piste on peut obtenir des choses intéressantes malgré cela je n'aboutit à rien avec mes suites, d'où la seconde chose : construction d'une sous-suite de sous-suite en utilisant correctement l'approche diophantienne. Bon j'en suis à ce point là.
Normalement, une petite correction Lundi ^^
par Nightmare » 04 Oct 2012, 23:22
Gathart a écrit:Bon, d'après JP Marco ce n'est pas bien compliqué XD !
Je crois qu'il a pas dû bien comprendre la question ^^
Peut être que le problème a été résolu récemment, mais je me rappelle en avoir discuté l'année dernière sur ce forum et l'on avait conclu après recherches sur internet que le problème était encore ouvert.
par Doraki » 05 Oct 2012, 03:09
Je ne me souviens pas avoir vu ce problème sur le forum, mais je suis du même avis.
par Judoboy » 05 Oct 2012, 10:55
Nightmare a écrit:Ne cherchez pas trop longtemps (sauf si vous êtes vraiment motivés), le problème est encore irrésolu par la communauté des mathématiciens à l'heure actuelle.
Ca me rassure
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