Racines réelles d'un polynôme

[Zweig]

Salut,

Un exercice intéressant.

Soit un polynôme à coefficients réels. Montrer que les racines de sont toutes réelles si et seulement si ne peut s'écrire sous la forme , où et sont des polynômes à coefficients réels tels que .

[Alpha]

Après avoir réfléchi 2min, il me semble qu'un sens est évident :

si f² s'écrit sous la forme g²+h², alors si f(x) s'annule alors [g(x)]² = -[h(x)]², ce qui n'est possible que si g(x) = f(x) = 0 ou si g(x) est complexe.

- Si pour toutes les racines de f, g(x) = h(x) = 0, en supposant par ex que deg(g) > deg h, comme manifestement deg f >= max (deg g, deg h), l'ensemble des racines de h est inclus dans l'ensemble des racines de g qui est inclus dans celui des racines de f, autrement dit, h divise g qui divise f.

Ecrivons par ex f(x) = k(x)*g(x) et g(x) = l(x)* h(x).

alors [f(x)]² = [l(x)h(x)]² + h(x)² = h(x)² [1+l(x)²]

Puisque h divise strictement f et a donc moins de racines que ce dernier, 1+l(x)² doit s'annuler, ce qui n'est possible que si f a des racines complexes.

- Si g(x) est complexe pour x racine de f, alors x est complexe.

Donc si f est un polynôme à coefficients réels, on ne peut pas écrire f = g² + h² où g et h sont des polynômes à coefficients réels de degrés différents.

[Matt_01]

Après avoir réfléchi 2min, il me semble qu'un sens est évident :

si f² s'écrit sous la forme g²+h², alors si f(x) s'annule alors [g(x)]² = -[h(x)]², ce qui n'est possible que si g(x) = f(x) = 0 ou si g(x) est complexe.

- Si pour toutes les racines de f, g(x) = h(x) = 0, en supposant par ex que deg(g) > deg h, comme manifestement deg f >= max (deg g, deg h), l'ensemble des racines de h est inclus dans l'ensemble des racines de g qui est inclus dans celui des racines de f, autrement dit, h divise g qui divise f.

Ecrivons par ex f(x) = k(x)*g(x) et g(x) = l(x)* h(x).

alors [f(x)]² = [l(x)h(x)]² + h(x)² = h(x)² [1+l(x)²]

Puisque h divise strictement f et a donc moins de racines que ce dernier, 1+l(x)² doit s'annuler, ce qui n'est possible que si f a des racines complexes.

- Si g(x) est complexe pour x racine de f, alors x est complexe.

Donc si f est un polynôme à coefficients réels, on ne peut pas écrire f = g² + h² où g et h sont des polynômes à coefficients réels de degrés différents.

Yep, j'avais réussi ce sens là aussi
Par contre je trouve que tu compliques un peu les choses, même si l'idée est sensiblement la même :
Soit f de degré n, admettant n racines réelles. Supposons que f²=g²+h² avec g,h polynomes réelles (on suppose deg g < deg h)
Alors deg g < deg h <= deg f = n
De plus, on montre que toute racine de f est racine de g et h.
Or on a montré que deg g<n donc g admet moins de n racines.
On a donc une contradiction et f² ne peut s'écrire sous cette forme.

Reste à montrer que tout polynôme f admettant au moins une racine complexe vérifie f²=g²+h² avec les conditions énoncées ...

[Alpha]

Yep, j'avais réussi ce sens là aussi
Par contre je trouve que tu compliques un peu les choses, même si l'idée est sensiblement la même :
Soit f de degré n, admettant n racines réelles. Supposons que f²=g²+h² avec g,h polynomes réelles (on suppose deg g < deg h)
Alors deg g < deg h <= deg f = n
De plus, on montre que toute racine de f est racine de g et h.
Or on a montré que deg g<n donc g admet moins de n racines.
On a donc une contradiction et f² ne peut s'écrire sous cette forme.

C'est exact.

[Alpha]

où et sont des polynômes à coefficients réels tels que .

Ne faudrait-il pas exclure le polynôme nul pour l'un de ces deux polynômes?

Car si je prends f(X) = X² + aX +b, avec a²-4b <0,

élevé au carré, ça donne X^4 + 2aX^3 + a²X² + 2bX² + 2abX + b², pas franchement la gueule d'un truc qui peut s'écrire g²+h² avec deg g différent de deg h et ni h ni g nul, sauf si quelqu'un me trouve une telle décomposition...

[_-Gaara-_]

Tu utilises beaucoup de "si" Alpha x)

[Alpha]

En tout cas, j'attends toujours une réponse de Zweig pour qu'il précise les hypothèses, afin de savoir si l'autre sens est trivial ou non.

[Doraki]

Si f a une paire de racines complexes conjuguées alors f(x) est multiple d'un polynome de degré 2 qu'on peut mettre sous forme canonique :
f(x) = g(x)*((ax+b)²+c²) avec a et c non nuls.
Or, on a l'identité (a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)².

Et donc f(x)² = (g(x)*((ax+b)²-c²))² + (g(x)*2c(ax+b))²

a et c sont non nuls donc ces deux termes sont de degrés différents.