zygomatique a écrit:un exemple tout simple :
 = (x - 1)^2)
(de R dans R)
1/ la fonction h : x --> x - 1 est croissante sur R
2/ la fonction g : x --> x^2 est décroissante sur R- et croissante sur R+
3/ f = g o h
Je sais pas si ça aidera où pas, mais je vais essayer de ré-expliquer plus en détail l'exemple de zygo.
Déjà, dans des cas pareil, ça peut éventuellement aider de bien changer de lettre à chaque fois :
Quand on a une fonction
h de R dans R, c'est plus que pas con appeler x (ou x' ou
ou ...) les élément auquel on va
appliquer la fonction et d'appeler y (ou y' ou
ou ...) les résultat qu'on obtient. Et là, vu qu'après avoir calculé y=h(x) on va ensuite enchainer avec la fonction
g pour calculer g(h(x))=g(y), ben c'est pas con de rechanger de lettre et d'appeler z (ou z' ou
ou ...) le résultat final.
L'idée c'est donc ça :
^2)
et, rien que sur les dessins que tu as fait, tu risque éventuellement de mieux comprendre en prenant comme première fonction x->y=x+1 (i.e l'axe horizontal, c'est des x et le vertical, c'est des y) et comme deuxième fonction y->z=y² (i.e l'axe horizontal, c'est des y et le vertical, c'est des z)
Ensuite, si tu étudie individuellement les deux fonctions tu as :
1) Lorsque x augmente alors y=x+1 augmente (où que soit situé x).
2) Lorsque y augmente alors z=y² diminue si y<0 et par contre il augmente si y>0.
Et si tu veut composer les deux, pour voir ce que fait z (augmenter ou descendre) par rapport à x directement, ben faut regarder quand est-ce que x+1(=y) est positif et quand est-ce qu'il est négatif.
Et sinon, les théorème, c'est tout concon : la composée de deux fonctions toute les deux croissantes ou bien toute les deux décroissantes c'est une fonction croissante. Par contre la composée d'une fonction croissantes et d'une décroissante c'est une fonction décroissante.
Et c'est "concon" du fait qu'une fonction F est croissante, ça veut dire qu'elle "respecte l'ordre", c'est à dire que F(x) et f(y) sont rangés dans le même ordre que x et y. Et F est décroissante, ça veut dire qu'elle "inverse l'ordre" : si x<=y alors F(x)>=F(y) et, si x>=y alors F(x)<=F(y).
Si tu applique
deux fonction en cascade, si elle "préservent l'ordre" ou "échange l'ordre"
toutes les deux alors au final, ça sera dans le même ordre qu'au départ. Et évidement, si une des deux "inverse l'ordre" et pas l'autre, alors au final, l'ordre sera inversé.
Évidement, il faut faire attention au fait que :
- Certaines fonction "préservent l'ordre" sur certains intervalle et par contre "l'inversent" sur d'autres intervalles.
- Que dans ce cas de figure, si x->y puis que y->z et que la deuxième fonction est croissante sur certains intervalles et pas sur d'autre, ça signifie évidement qu'il faudra faire différent cas selon ou est y et regarder
à quels x correspondent ces différents cas.
Pour voir si tu comprend, y compris dans les cas compliqués, tu peut par exemple
(1) Tracer avec géogébra la courbe de x->x²-3x+2
et tu a le droit de lire toutes les info que tu veut sur cette courbe.
(2) Tracer la courbe de y->y² (mais je pense que tu la connait par cœur celle là)
(3) En déduire
sans calculs mais uniquement de la lecture sur courbe les variations de la fonction x->(x²-3x+2)².
