Une limite

[Bony]

Bonsoir.

La fonction f := x -> x^2 * sin(Pi/(x^2))/sin(Pi/x) est-elle continue en 0.

[girdav]

Bonjour,
pour et entier, ce n'est pas bien défini. Y a-t-il une faute de frappe ?

[Bony]

Si n est entier, n² l'est aussi et donc les 2 sinus se neutralisent mutuellement...

[Bony]

et la fonction est définie en x = 1/n car les sinus donnent du (-1)^n. Même en 2/n la fonction est définie

[Le_chat]

Non, en 2/n elle n'est pas définie. Il faut la prolonger convenablement pour qu'elle le soit.

[Doraki]

Ah bon ?
f(2/7) = 4/49 * sin(49pi/4) / sin(7pi/2) = 4/49 * (sqrt2/2) / (-1) = -2sqrt2/49.
Je vois pas où est le problème.


Aussi, pour savoir si la fonction peut être prolongée par continuité en 0 on a pas besoin qu'elle soit bien définie en 1/n.

[Le_chat]

oups erreur. je voulais dire qu'en 1/n elle n'est pas définie, on tombe sur sin(npi) au dénominateur.

[Doraki]

En posant 1/x = a(x)+b(x) où a(x) est entier et |b(x)| <= 1/2,

|f(x)| = |x|² |sin(pi(a(x)²+2a(x)b(x)+b(x)²))| / |sin(pi(a(x)+b(x)))|
= |x|² |sin(pi(2a(x)b(x)+b(x)²))| / |sin(pi(b(x)))|
<= |x|² |pi(2a(x)b(x)+b(x)²| / |2b(x)|
= |x|² |pi(2b(x)/x -b(x)²| / |2b(x)|
= |x|² |pi(2/x-b(x)| / 2
<= |x|² pi(2/|x|+1/2) / 2
= pi|x| + |x|²/4

ce qui montre que f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0.

[nodjim]

Mais cette fonction ne change t elle pas de signe sans arrêt ? et apparemment de plus en plus rapidement aux abords de 0. Quid de la continuité ?

[nuage]

Salut,
je dirais que la fonction n'est pas définie en 0, ni sur aucun voisinage de 0. Elle n'est donc pas continue en 0.
Mais on peut la prolonger par continuité, d'abord sur les points x=1/n (n entier relatif) puis en 0.

Aussi, pour savoir si la fonction peut être prolongée par continuité en 0 on a pas besoin qu'elle soit bien définie en 1/n.

je ne suis pas d'accord, pour qu'une fonction soit continue en 0, il me semble qu'elle doit être définie sur un voisinage de 0.
Mais c'est un peu de la tetracapilectomie. La démonstration de Doraki est convaincante.