Une limite

[jlb]

a0=1
a1=5
a(n+1)=7(1-1/a(n))-15/(a(n).a(n-1))

petit exo sympa, quelle est la limite de (a)?

[nodjim]

ça converge, et même vite, c'est mon tableur qui me l'a dit. La limite est une racine positive d'une équation de 4ème degré.

[skwouale]

Le tableur excell me dit autre chose... ca commence à converger vers 3, puis ca converge vers 5 définitivement.
en resolvant a(n+1)=a(n) =a(n-1), pour trouver les points fixes..
on se retrouve à résoudre après factorisation, l'équation de degré 3 assez facile.(X-3)(X+1)(X-5)..
Maintenant je ne saurai démontrer que c'est 5 ou 3 la limite finale...
des idées?

[jlb]

Oui, 3 ou 5 , en gros une chance sur 2 . Après, confiance ou pas en mister ordinateur!!! C'est ça le coté sympa de l'exo.

[MMu]

Faudrait quand même montrer qu'il y a convergence ..

[jlb]

Faudrait quand même montrer qu'il y a convergence ..

pas de soucis, cela converge.

[adrien69]

Attendez, je me trompe peut-être mais je trouve que la limite c'est -1...

[jlb]

tu as utilisé quel logiciel pour obtenir cette conjecture, je ne pensais pas cela envisageable? c'est donc encore plus intéressant. mais, la limite est bien 3 ou 5...

[adrien69]

J'ai utilisé ma tête :/

Mais j'ai sûrement fait une erreur de calcul.

L'idée c'est que j'ai transformé ta relation de récurrence d'ordre 2 en une relation d'ordre 1 en posant

Et après j'ai trouvé f telle que

En regardant les points fixes de f j'en suis arrivé à la conclusion que s'il y avait une limite c'était -1.

Pour démontrer ensuite qu'on avait bien convergence j'ai tracé une carte du champ de vecteurs donné par f et je me suis appuyé dessus pour appliquer le théorème du point fixe de Cauchy.

Mais bon j'ai simplement dû me gourer dans la tronche de f...

(au début j'avais essayé d'appliquer le théorème de Poincaré Bendixon en le modifiant un peu, mais bon comme il y a des phénomènes chaotiques (raison pour laquelle tu as donné cet exo non ?) ça ne marche pas)

[jlb]

problème de propagation des erreurs: par contre sur la bonne voie, avec transformation de la relation de récurrence (on peut obtenir explicitement a(n)) .

[Doraki]

-1 est répulsif et 3 et 5 sont attractifs, donc y'a peu de chances que ça converge vers -1

[jlb]

disons que là, le destin a peut-être été un peu manipulé.

[adrien69]

ahhh j'avais pas vu que c'était 15/(an... j'avais mis un *

[Doraki]

En fait les valeurs propres de la différentielle de f en (3,3) sont -1/3 et 5/3, donc c'est pas vraiment attracteur. A moins d'être pile sur la bonne courbe, ça ne devrait pas converger vers 3.
(En (5,5) elles sont -1/5 et 3/5, donc (5,5) est vraiment attracteur)

Donc effectivement, même si ça converge vers 3, on voit le calcul finir sur 5 à cause des erreurs d'arrondis.
Je suppose que pour trancher on a pas d'autre choix que de chercher une expression exacte de la suite.

[jlb]

c'est ça, bravo!!! avec b(n)=a(n).a(n-1)...a(0)
(b) est définie par une récurrence linéaire d'ordre 3 et les premiers termes choisis annulent la contribution de 5.
Le retour à la suite (a) donne facilement la convergence vers 3 mais la propagation des erreurs laisse entrevoir une convergence vers 5.

[adrien69]

J'avais essayé que ... :wrong:

[Doraki]

Si on part d'un point sur la courbe (x-2)y = 3, on y reste, et à moins de commencer sur (-1,-1), la suite engendrée converge vers (3,3).
Le reste du temps j'imagine que soit on finit par tomber sur un x=0 ou un y=0, soit on converge sur (5,5).

[chan79]

Salut
Juste une idée de recherche (je n'ai pas trop de temps ce soir ...)

Si on calcule les premiers termes:



si on pose

on peut conjecturer





si on arrive à le prouver, on a:

(à vérifier)

on doit pouvoir démontrer que u(n) tend vers +infini

[MMu]

pas de soucis, cela converge.

Prouve le ! :zen:

[MMu]

Avec l'idée de chan79 on arrive facilement à
avec d'où
Avec on obtient
On obtient ssi d'où avec , (pas de division par )
On obtient ssi , d'où ,
Dans les autres cas on obtient (pourvu qu'il n'y ait pas de division par )
:zen: