Triangle et aires

[chan79]

Bonjour à tous
Je relance un problème resté sans réponse.
Un point P est situé à l'intérieur d'un triangle ABC.
(AP) coupe [BC] en A'.
(BP) coupe [CA] en B'.
(CP) coupe [AB] en C'.
On suppose que l'aire de chacun des triangles PBA', PCB' et PAC' est égale à 1.
Calculer l'aire du triangle ABC.

[Imod]

Trop facile , c'est 6 :ptdr:

Imod

[chan79]

Trop facile , c'est 6 :ptdr:

Imod

bien-sûr, mais la démo ?

[Imod]

Je plaisantais bien sûr :lol3:

Et dire que dans certains pays on ne fonctionne qu'aux QCM :hum:

Imod

[Dlzlogic]

Bonjour,
Supposons que par P on trace une parallèle à AB, à AC et à BC.
On construit ainsi des triangles égaux à [1], je pense que ça devrait faire l'affaire.
Non, je modifie ma supposition : on trace une parallèle à BC passant par A et une autre passant par P.
On trace le point A' tel que le triangle ABC soit isocèle. Le point P sera remplacé par un point P'.
Toutes les aires (ou presque ?) sont restées identiques (flemme de faire un dessin).

[Matt_01]

Bonjour,
Supposons que par P on trace une parallèle à AB, à AC et à BC.
On construit ainsi des triangles égaux à [1], je pense que ça devrait faire l'affaire.
Non, je modifie ma supposition : on trace une parallèle à BC passant par A et une autre passant par P.
On trace le point A' tel que le triangle ABC soit isocèle. Le point P sera remplacé par un point P'.
Toutes les aires (ou presque ?) sont restées identiques (flemme de faire un dessin).

C'est une démo ?

[Lostounet]

Bonjour,
J'ai peut-être trouvé une petite preuve... Mais je ne suis pas très sûr !

Je note:

x = Aire (C'PB)
y = Aire ( APB')
z = Aire (CPA')

Du fait du concours des trois céviennes [AA'], [BB'] et [CC'], nous pouvons écrire:
(théorème de Ceva)


Les triangles AA'B et AA'C ont même hauteur, le rapport de leurs aires est égal au rapport des longueurs de leurs bases respectives BA' / A'C:



Les triangles BB'C et BB'A ont même hauteur, le rapport de leurs aires est égal au rapport des longueurs de leurs bases respectives CB'/B'A





Les triangles CC'A et CC'B ont même hauteur, le rapport de leurs aires est égal au rapport des longueurs de leurs bases respectives C'A/C'B





Par produit des rapports:



On aboutit à:


Ensuite, je ne sais pas pourquoi, mais par identification (et par symétrie?)

1 + z = 2 ; 1 + y = 2 et (1 + x) = 2

z = 1 ; y = 1 et x = 1


L'aire totale est x + y + z + 3 = 6 ...
...

[chan79]

Bonjour,
J'ai peut-être trouvé une petite preuve... Mais je ne suis pas très sûr !

Je note:

x = Aire (C'PB)
y = Aire ( APB')
z = Aire (CPA')

...

Salut
J'ai suivi exactement cette démarche ...
En prenant les triangles PAC' et PBC', tu as:



et de même:





en multipliant xyz=1
ce qui aide pour la suite

[hammana]

Salut
J'ai suivi exactement cette démarche ...
En prenant les triangles PAC' et PBC', tu as:



et de même:





en multipliant xyz=1
ce qui aide pour la suite

Cette figure peut donner lieu à beaucoup de variations intéressantes. On peut chercher à démontrer p.ex. que si les triangles PBA', PCB' et PAC' ont chacun une surface égale à 1, il en résulte que les triangles PBC', PAB' et PCA' ont aussi chacun une surface égale à 1.

[chan79]

Cette figure peut donner lieu à beaucoup de variations intéressantes. On peut chercher à démontrer p.ex. que si les triangles PBA', PCB' et PAC' ont chacun une surface égale à 1, il en résulte que les triangles PBC', PAB' et PCA' ont aussi chacun une surface égale à 1.

oui, c'est bien ce qui est proposé ici :zen:

[hammana]

oui, c'est bien ce qui est proposé ici :zen:

mais aussi que les droites AA', BB', CC' sont les médianes du tringle ABC

[hammana]

oui, c'est bien ce qui est proposé ici :zen:

ou plus généralement, que si trois quelconques des 6 petits triangles sont égaux, les 6 petits triangles sont égaux et que AA', BB', CC' sont les médianes du triangle ABC.
On peut aussi chercher le lieu géométrique du point P lorsque deux des 6 triangles sont égaux.

[hammana]

[quote="hammana"]

Ou plus généralement, que si trois quelconques des 6 petits triangles sont égaux, les 6 petits triangles sont égaux et que AA', BB', et CC' sont les médianes du triangle ABC.
En cherchant les lieux géométriques du point P lorsque deux des 6 triangles sont égaux on démontre facilement cette proposition.

Je crois qu'on peut conjecturer également que si la somme des aires de 3 petits triangles quelconques est la moitié de l'aire du triagle ABC, les 6 triangles ont des surfaces égales.

[hammana]

[quote="hammana"][quote="hammana"]

Ou plus généralement, que si trois quelconques des 6 petits triangles sont égaux, les 6 petits triangles sont égaux et que AA', BB', et CC' sont les médianes du triangle ABC.
En cherchant les lieux géométriques du point P lorsque deux des 6 triangles sont égaux on démontre facilement cette proposition.

[Imod]

Plus généralement encore , je crois me souvenir que si on connait l'aire d'un triangle sur deux ( ceux qui font 1 dans le problème initial ) on peut calculer l'aire des trois autres .

Mais c'est particulièrement ardu et la solution n'est pas unique .

Imod

[hammana]

Plus généralement encore , je crois me souvenir que si on connait l'aire d'un triangle sur deux ( ceux qui font 1 dans le problème initial ) on peut calculer l'aire des trois autres .

Mais c'est particulièrement ardu et la solution n'est pas unique .

Imod

http://imageshack.us/photo/my-images/707/triangley.jpg

[hammana]

Plus généralement encore , je crois me souvenir que si on connait l'aire d'un triangle sur deux ( ceux qui font 1 dans le problème initial ) on peut calculer l'aire des trois autres .

Mais c'est particulièrement ardu et la solution n'est pas unique .

Imod

Effectivement, on peut répondre à toutes les questions relatives à ce problème si on établit la formule permettant de calculer l'aire des petits triangles.

Soit p=BC'/BA, q=AB'/AC, r=CA'/CB
Les paramètres p, q, r sont liés par la relation p*q*r=(1-p)*(1-q)*(1-r) (Théorème de Céva).
(Je numérote les triangles de 1 à 6)

L'aire du triangle 1 (le calcul est assez ardu) est donnée par
p²q/(1-q+pq)
l'aire des triangles 3 et 5 s'obtient en faisant une permutation circulaire sur p, q, r.
L'aire des triangles 2, 4, 6 s'obtient en remplaçant p par (1-p), q par (1-q), r par (1-r), puis une permutation circulaire. (Des calculs similaires ont été faits dans un problème précédemment proposé par Chan).

On peut démontrer, sans s'appuyer sur ces résultats, que si trois triangles quelconques sont égaux, tous les triangles sont égaux, et le point P de rencontre des céviennes est nécessairement le point de rencontre des médianes de ABC.



En effet:
1=2, ou 3=6, ou 5=4, implique que P est sur la médiane AA',
2=3, ou 1=4, ou 5=6, implique que P est sur la médiane CC',
3=4, ou 2=5, ou 1=6, implique que P est sur la médiane BB'

Le lieu géométrique du point P est plus compliqué dans 6 cas suivants: 1=3, 3=5, 5=1; ou 2=4, 4=6, 6=2.
En examinant le cas de 1=3, on peut montrer que le lieu est une courbe passant par A, tangente en A à AB, passant par le point M de rencontre des médianes, et rencontrant BC en un point N tel que
Cela suffit pour connaître l'allure de cette courbe (voir la figure) et des 5 autres similaires, et conclure que les lieux géométriques de P lorsque 2 triangles sont égaux n'ont en commun que le seul point M.

[chan79]

Bonjour à tous
Je reviens à la question initiale en terminant la méthode commencée par Lostounet qui a écrit
plus haut

par ailleurs j'avais écrit ensuite

De ces deux égalités, on obtient

2z+xz=y+z+1

xz+z=y+1 De même, on a
yx+x=z+1
zy+y=x+1
en ajoutant membre à membre
xz+yx+zy=3
en divisant par xyz qui est égal à 1

d'autre part, comme xyz=1 on a
on pose a=1/x, b=1/y et c=1/z
il faut donc trouver trois nombres positifs inférieurs à 3 tels que a+b+c=3 et abc=1
on écrit
a+b=3-c et ab=1/c
c doit être tel que le discriminant de X²+(c-3)X+1/c=0 soit positif ou nul
=(c-3)²-4/c=(c³-6c²+9c-4)/c=(c-4)(c-1)²/c
c-4 est strictement négatif
il est donc nécessaire que c=1 et on a finalement a=b=c=1
il en résulte x=y=z=1 et tous les triangles ont leur aire égale à 1.
Par ailleurs donne

A' est le milieu de [BC] et finalement P est le centre de gravité de ABC.
******
Si on modifie le texte en partant de trois triangles d'aires 1 tels que certains aient des côtés en commun, le problème se résout facilement en démarrant de la même façon.