Découpage d'un triangle

par **poiuytreza** » 10 Jan 2010, 15:42

Bonjour, voilà un exo assez joli (ça pourrait aussi être dans la partie "énigme", mais comme on l'a eu en test je le mets ici)

On découpe un triangle à l'aide de coups de ciseaux rectilignes. On fait ensuite subir à chaque morceau une translation, de manière à ce que les morceaux forment de nouveau un triangle. Montrer que ce nouveau triangle est l'image de l'ancien par une translation.

Est-ce encore vrai en remplaçant "translation" par "translation ou rotation" ?

Bonne chance !

par **Imod** » 10 Jan 2010, 19:40

Joli problème !!!

poiuytreza a écrit:Est-ce encore vrai en remplaçant "translation" par "translation ou rotation" ?

Aucune chance ( déjà vu sur le forum énigme avec un gâteau à l'envers )

Imod

par **Ben314** » 11 Jan 2010, 12:30

Salut, je tente ma chance...
Une fois le triangle coupé en petit morceaux, pour chaque direction (orientée) correspondant à un coté d'un des morceaux, on ajoute toutes les longueurs des différents cotés de "morceaux" ayant cette direction en les comptant positif/négatif selon que c'est des "bords droits" ou des "bord gauches" (par rapport à l'orientation choisie)...

Pour les rotations/translations, il y a un "théorème" qui dit que, si deux polygones ont même surface, on peut découper l'un des deux (avec des lignes droites) et reconstituer l'autre avec les morceaux obtenus...
Pour ceux qui veulent chercher, c'est pas super dur...

par **Imod** » 11 Jan 2010, 19:29

Je n'ai pas trop compris la démonstration avec les translations :mur:

Voilà comment je vois la généralisation aux translations/rotations :

Le deuxième triangle n'est pas l'image du premier par une translation/rotation .

Imod

par **poiuytreza** » 11 Jan 2010, 20:06

Ouais j'ai fait pareil, mais c'est long et embêtant de rédiger tout ça clairement.
Pour le b, on peut faire encore plus simple en ne prenant qu'un triangle rectangle.

par **Ben314** » 11 Jan 2010, 20:08

Imod a écrit:Je n'ai pas trop compris la démonstration avec les translations :mur:

Est-ce plus clair ?
Cela prouve qu'en ne connaissant QUE les petits morceaux, on peut retrouver les dimensions du triangle de départ et, surtout, les direction portant les trois cotés (se sont les directions pour lesquelle la somme est non nulle)

par **Imod** » 12 Jan 2010, 16:50

D'accord , c'est en fait assez simple même si ça n'est pas évident à expliquer :++:

Imod

par **Anonyme** » 12 Jan 2010, 20:30

Je comprend pas trop ton idee Ben31 meme avec le schema pourrais tu m'expliquer en quoi les relations sur les cotes que tu as trouve montrent que le triangle nouvellement forme est necessairement une translation de l'ancien ?
Je ne vois pas le rapport.. :briques:

par **benekire2** » 12 Jan 2010, 22:53

il me semble que le théorème dont ben parle soit de Hilbert.
j'aurais tendance a dire qu'il suffit de prouver que cela marche pour les triangles, puisque habilement on peut ( même si c'est pas forcément évident) découper un polygone en triangles, de manière a ce qu'ils soient deux a deux ( avec l'autre triangle) égaux ...

par **Ben314** » 12 Jan 2010, 23:46

Qmath a écrit:Je comprend pas trop ton idee Ben31 meme avec le schema pourrais tu m'expliquer en quoi les relations sur les cotes que tu as trouve montrent que le triangle nouvellement forme est necessairement une translation de l'ancien ?
Je ne vois pas le rapport.. :briques:

Pour montrer que l'ancien et le nouveau triangle sont l'image l'un de l'autre par une translation, je montre que, partant des petit morceaux, on peut trouver la direction (i.e. un vecteur directeur) de chacun des trois cotés du triangle de départ (ce qui prouve que les deux triangles ont des cotés parallèles) ainsi que la longueur de ces cotés (ce qui prouve que les deux triangles sont images l'un de l'autre par une translation.
Pour le démontrer, je regarde toutes les 'directions' des cotés des petits morceaux (sur l'exemple, il n'y en a que 4), puis, pour chaque 'direction' je fait la somme "alternée" des longueurs des cotés qui on cette direction.
En regardant le triangle de départ, on voit que cette somme est nulle (car les termes se compensent) si la direction n'est pas l'une des 3 du triangle de départ et que cette somme vaut (en valeur absolue) la longueur du coté correspondant lorsque la "direction" est celle d'un des cotés du triangle.
Est ce clair ?

Pour Benekire, je ne sais pas quel nom on accole à ce théorème, mais je sais que les grec connaissaient (au moins en grande partie) la réponse.
La preuve "standard" consiste à montrer que, en le découpant, on peut faire la quadrature de n'importe quel polygône (i.e. reconstituer un carré avec les morceaux). Les étapes usuelles sont :
1) Découpage en triangles quelconques (trivial)
2) Découpage d'un triangle en 2 triangles rectangles (idem)
3) Découpage d'un triangle rectangle en 2 pour reconstituer un rectangle (idem)
4) Découpage d'un rectangle pour constituer un carré (là ça commence à être plus rigolo)
5) Découpage de deux carrés pour en reconstituer un seul (idem)

Aprés, la méthode est "théorique" et il existe tout plein de casse tête consistant à chercher le découpage minimal (en terme de nombre de morceaux OU de coup de couteau) pour passer d'une forme à une autre.

P.S. : les preuves du 4) et du 5) sont niveau collège (Pythagore + Thales + Angles) : j'en ai vu dans des livres de 4em (évidement, on donne le découpage et on demande de vérifier que...)

par **benekire2** » 13 Jan 2010, 13:45

comme les problèmes de construction ... preuves niveau collège !!!

par contre je veux bien les preuves quand même :zen: ( si possible )

Merci

par **Ben314** » 13 Jan 2010, 15:39

benekire2 a écrit:par contre je veux bien les preuves quand même :zen: ( si possible )

Dans quelque jours, si tu est sage !!!:zen: (faut quand même chercher un peu)

Indic, pour les rectangles, il faut envisager plusieurs "découpages" selon la forme du rectangle, par exemple un rectangle de 1x1000 devra évidement être coupé en beaucoup de morceaux...

par **benekire2** » 13 Jan 2010, 15:46

je viens d'y réfléchir en prenant un bout de papier et le coup des rectangles avec les carrés, il n'y a pas de problème en fait.

Je réfléchirais à la seconde ce soir quand j'aurais juste un peu de temps :id:

par **benekire2** » 13 Jan 2010, 15:50

pour la première: rectangle n*m on sectionne le coté m en sqrt{m/n} morceaux.

par **Ben314** » 13 Jan 2010, 15:57

benekire2 a écrit:pour la première: rectangle n*m on sectionne le coté m en sqrt{m/n} morceaux.

Je sais pas qui sont ton "n" et ton "m", ais fait gaffe, rien ne dit que les cotés sont entiers...

par **Ben314** » 13 Jan 2010, 16:07

Je te donne une indic. dans le cas rectangle->carré pour déterminer le coté du carré :

Je te donne cette "indic" car il me semble que, si on ne l'a jamais vu, c'est pas évident à trouver.

Cette indic est aussi là pour signaler, que dans la soluce, j'aimerais EN PLUS que les traits de coupes puissent s'obtenir à la règle et au compas uniquement (i.e. c'est de la "vrai" géométrie)

par **benekire2** » 13 Jan 2010, 16:31

dans ma solution ça pouvait très bien être des réels quelconques, par contre pour la construction à la règle et au compas ... non

par **Ben314** » 14 Jan 2010, 11:30

Quadrature du rectangle (avec seulement des translations) :

Valable pour certaines valeurs de

et de

...

par **benekire2** » 14 Jan 2010, 17:46

Ben314 a écrit:Quadrature du rectangle (avec seulement des translations) :

Valable pour certaines valeurs de et de ...

effectivement il faut quand même la voir ...

par **Ben314** » 14 Jan 2010, 17:59

Si ca t'amuse, tu peut
1) Vérifier que tout marche bien sur le dessin (pythagore + angles + surfaces)
2) vérifier que ce dessin est cohérent pour tout a,b tel que a3) chercher commen faire si b>2a (plusieurs réponses possibles)
4) chercher le découpage "carré+carré -> carré"

Découpage d'un triangle

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