Aires triangles inscrit/circonscrit

[hammana]

Soit un triangle quelconque ABC, un triangle quelconque A1B1C1 inscrit dans ABC (A1 sur BC, B1 sur AC). Les parallèles menées de A à B1C1, de B à A1C1, de C à A1B1, forment un triangle circonscrit A2B2C2.
Montrer que l'aire du triangle ABC est la moyenne géométrique des aires de A1B1C1 et de A2B2C2.

[chan79]

Soit un triangle quelconque ABC, un triangle quelconque A1B1C1 inscrit dans ABC (A1 sur BC, B1 sur AC). Les parallèles menées de A à B1C1, de B à A1C1, de C à A1B1, forment un triangle circonscrit A2B2C2.
Montrer que l'aire du triangle ABC est la moyenne géométrique des aires de A1B1C1 et de A2B2C2.

un indice: utiliser l'homothétie qui transforme A1B1C1 en A2B2C2

[hammana]

un indice: utiliser l'homothétie qui transforme A1B1C1 en A2B2C2

Tu es sur la bonne voie

[chan79]

un indice: utiliser l'homothétie qui transforme A1B1C1 en A2B2C2

Soit h l'homothétie qui transforme en .
Soit O son centre et r son rapport.
(OA) coupe ( ) en I.
OH et AK sont les hauteurs de et .
De OA=r OI on déduit que =r-1
donc (Thalès) = r-1
L'aire de est donc égale à (r-1) fois l'aire de .
L'aire de est donc égale à r fois l'aire de .
En procédant encore deux fois de la même façon, on arrive à
aire de ABC = r *aire de
comme aire de = r² * aire de
on en déduit facilement que l'aire de ABC est la moyenne géométrique des aires de et
Cette démonstration sur les "triangles gigognes" est due à Rainer Rosenthal, je crois.
[img][IMG]http://img442.imageshack.us/img442/58/aazsb.png[/img][/IMG]