Suites vectorielles
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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upium666
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par upium666 » 10 Sep 2013, 21:46
Bonjour à tous et à toutes
J'annonce d'emblée que je n'ai pas encore la réponse au problème que je vais poser, car je viens d'y penser récemment; je le partage avec vous car je juge qu'il peut constituer un "défi" géométrique et analytique
Soit
Soit
_{n \in \mathbb{N}^*})
une suite de vecteurs définie par :
_{n \in \mathbb{N}^*} : \left\{\begin{matrix} \vec{u} \ _1 \binom{0}{l} \\ (-\vec{u} \ _n;\vec{u} \ _{n+1}) \equiv \alpha [2 \pi] \\ ||\vec{u} \ _n || = l , \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.)
où
est en radians
Exprimer les coordonnées de
pour tout
(Les coordonnées de
sont fonction de
,
et
)
Bonne réflexion :we: !
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jlb
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par jlb » 10 Sep 2013, 22:18
bonsoir, il manque au moins une info pour définir ta suite de vecteurs.
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upium666
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par upium666 » 11 Sep 2013, 07:38
jlb a écrit:Bonsoir, il manque au moins une info pour définir ta suite de vecteurs.
En effet, j'avais posé ce problème sous état d'ivresse de sommeil :ptdr:
J'ai corrigé :lol3:
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upium666
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par upium666 » 11 Sep 2013, 20:49
J'ai trouvé la réponse, je vous laisse essayer
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 11 Sep 2013, 23:04
Salut !
J'ai regardé vite fait ton truc, et j'aurai dit un truc du genre :
(\alpha+\pi)) \\ l \sin((n-1)(\alpha+\pi)) \))
Mais le problème, c'est que j'ai considéré
)
... :dodo:
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capitaine nuggets
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par capitaine nuggets » 11 Sep 2013, 23:15
En regardant un peu plus près, je propose :
\alpha + \frac{2n-1}{2} \pi \) \\ l \sin\((n-1)\alpha + \frac{2n-1}{2} \pi \) \))
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adrien69
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par adrien69 » 12 Sep 2013, 12:18
Salut,
})
Soit
le représentant canonique de l'argument de
.
On a d'après la relation entre
la relation de récurrence :
 = \alpha)
(quand j'écris = ici, il faut comprendre modulo
)
Donc suite arithmétique de raison
et de premier terme
.
On en déduit
 \cdot (\alpha + \pi))
et donc finalement,
 \cdot (\alpha + \pi))=l\cdot i \cdot (-1)^{n-1} \exp((n-1)\cdot \alpha)= l\cdot\binom{(-1)^n \sin ((n-1)\cdot \alpha)}{(-1)^{n-1} \cos((n-1)\alpha)})
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upium666
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par upium666 » 13 Sep 2013, 10:44
Bien joué !
Maintenant :
Si oui, quelles en sont les conditions ?
:happy2:
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adrien69
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par adrien69 » 13 Sep 2013, 11:59
Tu connais la réponse ? Parce que ça c'est très loin d'être du niveau lycée si je ne m'abuse. C'est une histoire d'équirépartition de la suite
}{2 \pi} mod 1)
...
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upium666
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par upium666 » 13 Sep 2013, 12:02
adrien69 a écrit:Tu connais la réponse ? Parce que ça c'est très loin d'être du niveau lycée si je ne m'abuse. C'est une histoire d'équirépartition de la suite
...
Je pense connaître la réponse
Voulez-vous que je vous l'expose ?
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adrien69
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par adrien69 » 13 Sep 2013, 12:54
upium666 a écrit:Je pense connaître la réponse
Voulez-vous que je vous l'expose ?
Envoie-la moi par MP, j'ai peut-être fait trop compliqué et je n'ai pas envie de pourrir le défi de ce fait.
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Doraki
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par Doraki » 13 Sep 2013, 14:11
C'est la manière la plus confuse que j'ai jamais vue de parler de la suite géométrique (complexe) u(n+1)= z*un où z = e^i(pi+alpha) et u1 = l
La suite est périodique <=> z est une racine de l'unité <=> alpha/pi est rationnel.
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adrien69
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par adrien69 » 13 Sep 2013, 14:24
Hmmmm... Je suis donc parti un peu loin.
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upium666
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par upium666 » 18 Sep 2013, 07:11
adrien69 a écrit:Hmmmm... Je suis donc parti un peu loin.
Je pense, oui :ptdr:
existe lorsque
est un entier, c'est à dire lorsque
, donc quand
où
Cela explique pourquoi les angles des polygones réguliers sont des diviseurs de
:
Pour un triangle :
Pour un carré :
etc...
C'est pour ça que j'ai inventé ce problème :we:
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