Exo défi : Suites, point de bifurcation.

[Nightmare]

Bonsoir à tous :happy3:

Je vous soumets un exercice que j'ai bien aimé résoudre :

On considère l'ensemble S des suites réelles v telles que .

On désigne par la suite donc le premier terme est x (appelé condition initiale)

On note alors l'ensemble des conditions initiales telles que u(x) converge vers 0 et l'ensemble des C.I positives telles que u(x) diverge vers +oo.

Première question (facile) : Montrer que

Deuxième question (moins facile) : Montrer l'existence d'un unique tel que et

troisième question (pas facile) : Montrer que

Bon courage

:happy3:

[Joker62]

Delta est le point de bifurcation.
cqfd :)

J'y réfléchis quand même lol, même si j'espère rien :)

[alben]

Bonjour,
Désolé, je ne suis pas très discipliné : La formule de récurrence suggère de poser une suite
qui permet d'établir .
On n'a alors aucune difficulté à traiter tes questions en partant de la fin :briques:

[Imod]

Bonjour,
Désolé, je ne suis pas très discipliné : La formule de récurrence suggère de poser une suite
qui permet d'établir .
On n'a alors aucune difficulté à traiter tes questions en partant de la fin :briques:

C'est une approche bien plus "naturelle" alben , d'autant que l'introduction des et autre manque un peu de légèreté :space:

Imod

[miikou]

allez une petite réponse 1 an apres :id:

1) on considère x dans R+

si v(x) est majorée : Vn -> 0 c'est evident.
si v(x) n'est pas majorée :

or
donc V(n+1) > Vn

donc V(x) diverge vers +inf

conclusion R+ = B0 union Binfini ( par double inclusion )


2) on note d= inf Binfini.
on prend un x de Binfini, si il existe un y dans B0 tq y > x
alors ( par reccurence )
or V(x) diverge vers +infini donc V(y) aussi, ce qui est absurde.
B0 = [0;d[
Binfini = ]d; + infini [

3) il y a deja repondu

[Doraki]

1) si v(x) n'est pas majorée :

or
donc V(n+1) > Vn
donc V(x) diverge vers +inf

Chez moi, sans rien supposer sur n, et ça sert à rien. Donc déjà je vois pas comment t'en déduis v(n+1)>v(n) pour ce n là.
Ensuite je vois pas comment de ça t'en déduis la ligne d'après.

2) on note d= inf Binfini.

Ah ben c'est dommage, t'as pas montré que Binfini était pas vide.

[miikou]

Chez moi, sans rien supposer sur n, et ça sert à rien. Donc déjà je vois pas comment t'en déduis v(n+1)>v(n) pour ce n là.
Ensuite je vois pas comment de ça t'en déduis la ligne d'après.

hum si Vn+1 / Vn = Vn/A et que Vn>A => Vn+1/VN > 1 => Vn+1 > Vn > A .. non ? ensuite ya plus qu'a utiliser la definition d'une suite qui diverge vers + infini

oui c'est exacte mais bon qui n'a pas vu que pour x= exp(1) la suite etait divergente vers + infini ? l'ensemble est non vide, minorée ou note d la borne inf et on continue avec le raisonement que j'ai exposé

[Doraki]

D'où tu sors que Vn+1 / Vn = Vn / a ?

[miikou]

oops j'ai voulu aller plus vite que la lumiere ;) je vais corriiger

[miikou]

alors on se remet dans le cas ou V n'est pas majoré, on prend A >0
alors il existe un n0 tq Vn0 sup A
si => n_0+1
maintenant on va montrer que s il existe k tq
alors
en effet
qui est inferieure a
donc equivaut a

or Vn0+k inf Vnn0 inf a n0+1 d'ou
finalement Vn0+k+1 inferieur a Vn0 et par reccurence on deduit que Vn0+k inf Vn0
or on a supposé V non majoré, impossible il suffit de prendre M=max(V0, ... Vn0)+1

[Doraki]

oui si la suite commence à décroitre à un moment, alors elle continue de décroitre et tend vers 0. Donc si elle n'est pas majorée elle est toujours croissante.

est-il dans B0 ou dans Binfini ?

[miikou]

je ne sais pas si l'on peut le dire a l'avance, a la question 3 on calcul la valeure, apres on voit si il est dns B0 ou Binfini. Tu pense pouvoir le dire a l'avance ?

[Doraki]

Oui on peut le montrer à l'avance sans mettre delta sous forme de limite.
Même si ça aide un peu, en fait ça change pas grand chose de connaitre delta.

Je viens de trouver une preuve plus simple que celle quej'avais en écrivant ça d'ailleurs.

[miikou]

je serais tenté de dire qu'il appartient a B infini, mais encore faut-il que je le montre ..

[Doraki]

alors on se remet dans le cas ou V n'est pas majoré, on prend A >0
alors il existe un n0 tq Vn0 sup A
si => n_0+1
maintenant on va montrer que s il existe k tq
alors
en effet
qui est inferieure a
donc equivaut a

or Vn0+k inf Vnn0 inf a n0+1 d'ou
finalement Vn0+k+1 inferieur a Vn0 et par reccurence on deduit que Vn0+k inf Vn0
or on a supposé V non majoré, impossible il suffit de prendre M=max(V0, ... Vn0)+1

j'ai regardé ça d'un peu plus près.
Je te fais remarquer que tu n'utilises jamais l'hypothèse Vn0 > A donc si ton truc est bon, tu peux sans doute simplifier le début.
Soit donc n0 et k tel que V_n0+k <= V_n0, tu veux montrer V_n0+k+1 <= V_n0 :
V_n0+k+1 = (V_n0+k)²/(n0+k+1) <= Vn0² / (n0+k+1) <= Vn0² / (n0+1) = Vn0[Vn0 / (n0+1)]
Là tu dis que Vn0 <= n0+1 ? tu peux clarifier la manière dont tu choisis n0 ?

[miikou]

lol oui en effet c'est un peu confus, pourtant d'apres jordan c'etait la question la plus simple.
Comme on suppose que V est non majoré on peut pour A > 0 trouver un n0 tq Vn0 > A. soit Vn0+1 > Vn0 auquel cas il n'y a pas de probleme, soit on se place dans l'autre cas, que j'ai traité.
tu as raison on peut de passer de cette hypothese qui ne sert a rien ( j'ai commencer une demo, mais jai vu en cour de route qu'elle ne marchait pas .. )

[Doraki]

Ben si t'as juste montré que pour tout A il existe n0 tel que Vn0 > A et Vn0+1 > Vn0, ça veut pas dire que la suite tend vers l'infini.

[miikou]

ui mais justement ca entraine que tous les Vn0+k sont inferieures a A
tu prend les termes V0...... Vn0-1, Vn0 , il sont majoré, et les Vn0+k aussi, donc la suite de pas pas diverger vers linfini, ce qui contredit l'hypothese, non ?

[Doraki]

Tu supposes (Vn) non majorée.
Tu prends un A >0.
Grâce à l'hypothèse (Vn) non majorée tu trouves un n0 tel que Vn0 > A.
Dans le cas où Vn0+1 Vn0.

Donc formellement t'as montré l'énoncé (toujours sous l'hypothèse (Vn) non majorée).
Mais cet énoncé là n'implique pas que la suite tend vers l'infini
La suite 1,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,0,9,10.. vérifie tout ça mais ne tend vers pas l'infini.

[miikou]

hum oui j'avais bien un doute la dessus, on peut continuer le resultat jusqu'a trouver un n dans [n0 + inf[ tq Vn+1 < Vn et on se ramene au cas precedent.
je crois que jvais essayer une preuve vraiment rigoureuse car l'idée est bonne ( on voit bien comment ca marche ) mais c'est tout a fait confus