Suite harmonique

[yos]

Bonjour. voilà une proposition d'exo.

Soit un nombre premier.
Démontrer que la fraction a un numérateur multiple de .

[aviateurpilot]

donc il existe B tel que avec B divisible par p
donc le numérateur de A (ou )est donc N est divisible par p car ne divise pas p

si numerateur de A est divisible par p alors le numerteur de l'est aussi

il faut maintenant que je montre que le numerateur de est un multiple de p

[yos]

Bien vu.
On peut aussi se placer dans le corps Z/pZ. Les éléments 1,2,...,p-1 ont pour inverse 1,2,...,p-1 (dans le désordre), et donc
Sp= 1+1/2+...+1/(p-1)=1+2+...+(p-1)=p(p-1)/2=0.
Mais là aussi, on n'a pas fini.

[yos]

Toujours pas de réponse pour p²...

[yos]

On considère le polynôme défini par :
.
On l'écrit :
.
Puisque le calcul de avec les deux expressions donne :
, (1)
Les coefficients pour sont tous multiples de (comment ça vous ne voyez pas pourquoi?!), de sorte que (1) nous donne .
n'est autre que la fraction . La simplifier n'y changerait rien car (p-1)! est étranger à p.

[aviateurpilot]

j'ai aimé cette methode :we:

soit l'ensemble E={}
est =l'ensemble des produit des elements des parties de E à i elements
est la somme des element de
={}



cas particulier:
pour i=1
={}=E

et c'est ce que yos a dit.

[yos]

Je crois qu'il y a un bug dans ce que tu dis :
tu dois mettre à la place de , mais bon l'idée est là.
Par contre le fait que les soient des multiples de p n'est pas trivial il me semble. Ce point est-il à détailler?

[aviateurpilot]

Je crois qu'il y a un bug dans ce que tu dis

c'ete ce que je voulais dire
mais j'ai pas vu cette petite faute

Par contre le fait que les soient des multiples de p n'est pas trivial il me semble. Ce point est-il à détailler?

non. c'est facile
merci pour cette methode

[yos]

A noter que ce résultat porte le nom de théorème de Wolstenholme.

[aviateurpilot]

théorème de Wolstenholme.

merci pour cette information :++: