Raccordement parabolique dans un tracé routier...

[stugeol]

Bonjour,
Lors de l’étude d’un tracé routier, les alignements droits d’un profil en long sont raccordés par des arcs paraboles.
Dans l’étude que je dois mener je dois joindre deux alignements droits par un arc de parabole.
Les contraintes sont les suivantes :
•L’arc de parabole doit être tangent aux deux alignements droits
•L’arc de parabole doit être tangent à une droite horizontale
•Le rayon de courbure de la parabole au point de tangence P avec la droite horizontale doit être de 150 minimum.
•Le point P est le point haut de l'arc de parabole

Equation de la parabole : f(x,y) = a.x²+2.b.x.y + c.y² + 2.d.x + 2.e.y + f = 0, b²-a.c=0, comme la parabole passe par le point O(0,0), f=0
•O (0,0) est le point de tangence avec la droite D1 d'équation : g1(x,y) = p1.x+b1.y+c1=0
•P (xp,v) est le point de tangence avec la droite horizontale d'équation h(y)=y-v=0
•R (xr,yr) est le point de tangence avec la droite D2 d'équation : g2(x,y) = -p2.x+b2.y+c2=0

Attention l'axe de la parabole n'est pas forcément parallèle à l'axe Ox ou à l'axe Oy

Le but définir xp et xr en fonction de p1, p2 et v.
Bon courrage...

[stugeol]

Pour commencer, l'équation de la tangente à la parabole en A(x0,y0) est donnée par :
(x-x0).df/dx+(y-y0).df/dy = 0
•df/dx = 2.a.x+2.b.y+2.d
•df/dy = 2.b.x+2.c.y+2.e
On obtient donc :
(x-x0).(2.a.x+2.b.y+2.d)+(y-y0).(2.b.x+2.c.y+2.e)

Pour (D1) tangente en O(0,0) on à
•x0 = 0
•y0 = 0
•df/dx = 2.d
•df/dy = 2.e

soit g1(x,y) = 2.d.x + 2.e.y = p1.x+b1.y+c1, par identification :
2.d = p1
2.e = b1
0 = c1

Pour (H) tangente en P(xp,v):
•x0 = xp
•y0 = v
•df/dx = 2.a.xp+2.b.v+2.d
•df/dy = 2.b.xp+2.c.v+2.e
soit
h(x,y) = (x-xp)(2.a.xp+2.b.v+2.d) + (y-v)(2.b.xp+2.c.v+2.e)
h(x,y) =x(2.a.xp+2.b.v+2.d)+y(2.b.xp+2.c.v+2.e)-xp(2.a.xp+2.b.v+2.d)-v(2.b.xp+2.c.v+2.e)
h(x,y) =x(2.a.xp+2.b.v+2.d)+y(2.b.xp+2.c.v+2.e)-2(a.xp²+2.b.v.xp+d.xp+c.v²+2.e.v)
h(x,y) =x(2.a.xp+2.b.v+2.d)+y(2.b.xp+2.c.v+2.e)-2(a.xp²+2.b.v.xp+c.v²+2.d.xp+2.e.v)+d.xp+e.v
Comme P(xp,v) appartient à la parabole, a.xp²+2.b.v.xp+c.v²+d.xp+e.v=0
On a donc :
h(x,y) = x(2.a.xp+2.b.v+2.d)+y(2.b.xp+2.c.v+2.e)+d.xp+e.v = y-v
Par identification on à :
2.a.xp+2.b.v+2.d =0
2.b.xp+2.c.v+2.e =1
d.xp+e.v = v

Pour (D2) tangente en R(xr,yr):
On applique le même raisonnement que pour (H), on obtient :

g2(x,y) = x(2.a.xr+2.b.yr+2.d)+y(2.b.xr+2.c.yr+2.e)+d.xr+e.yr = -p2.x+b2.y+c2
par identification nous avons :
2.a.xr+2.b.yr+2.d = -p2
2.b.xr+2.c.yr+2.e = b2
d.xr+e.yr =c2

Voilà.
•A partir de là je suis coincé pour exprimer le rayon de courbure de la parabole en P(xp,v).
•J'espère ne pas arriver à un systéme d'équation sous dimenssionné.

Si vous trouvez une erreur de raisonnement, ou une erreur de calcul n'hésiter pas à me le faire savoir.
Cordialement.

[chan79]

Salut
On dirait qu'il y a beaucoup de contraintes, vu qu'une parabole est définie dès qu'on a deux points et les tangentes en ces points.
Dès que P est fixé sur la droite horizontale, la parabole est déjà déterminée...
Peut-être un dessin pour repréciser le problème ? :zen:

[stugeol]

Bonjour Chan79,
Je ne sais pas afficher les images ou joindre un fichier.
Je n'ai pas d'option pour gérer les pièces jointe.

[stugeol]

La parabole est définie si P est le somet de la parabole. Dans mon étude l'axe de la parabole n'est pas forcément parrallèle à l'axe Ox ou Oy, donc son sommet n'est pas forcément P.
Si l'axe de la parabole est incliné il me semble qu'il existe une infinitée de paraboles tangentes à trois droites.
Je suis peut être dans l'erreur.
Cordialement.

[chan79]

Je crois que si on a deux points A et B, une droite passant par A et une droite passant par B, il existe au plus une parabole passant par A et B et avec les droites comme tangentes. A vérifier ....

[mathafou]

Bonjour,
je crois que cete histoire de 3ème tangente suggère que les points de contact A et B ne sont pas connus.

en reprenant tout depuis le début (autres noms de points) il s'agit de déterminer une parabole définie par trois tangentes (il y en a effectivement une infinité), les points de contact étant inconnus, et telle que le rayon de courbure en un des points de contact soit > une cte fixée.


on donne les droites (CA) et (CB) = les parties rectilignes, et la "3ème tangente" (AB)
l'ensemble des paraboles tangentes à ces trois droites est caractérisé par les propriétés suivantes :
leur foyer F est sur le cercle circonscrit à ABC (un point quelconque de F donc, restreint sur l'arc AB si on veut dans la portion de plan située dans l'angle ACB)
leur directrice est la droite de Steiner de F (passe donc par l'orthocentre H)


en jouant avec Geogebra, on lui fait construire le lieu de K, centre de courbure en P quand le foyer parcourt le cercle
ce lieu semble être une parabole d'axe la médiatrice de AB, montrant que le rayon de courbure est maximal quand P est le milieu de AB
le problème posé est donc possible uniquement si ce rayon maximal est > la valeur imposée.
il y a alors une infinité de solutions avec P sur un segment de AB pour R > cte donnée.

aucune idée pour prouver que le lieu de K est réellement une parabole, ni pour justifier tout ça par des calculs.
les propriétés citées de la famille de paraboles sont prouvées par des propriétés purement géométriques (de la défunte geométrie plus enseignée nulle part et remplacée de nos jours par des affreux calculs)

PS : pour joindre une figure c'est dit dans les "FAQ", messages en tête d'autres sections d'ici.
il faut héberger l'image sur un serveur externe (cjoint, etc ...) et utiliser le bouton "Image"

[stugeol]

Voici un croquis :
[url="http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=72851920140709103700001.jpg"][/url]

[stugeol]

Merci mathafou,

Je te remercie pour tes éclaircissements.
Si je comprends, avec trois tangentes (D1), (H) et (D2) et un point de passage O(0,0) il existe une seule parabole. Dans ce cas la position du point R est fonction de la pente de la droite (D2)

[mathafou]

Si je comprends, avec trois tangentes (D1), (H) et (D2) et un point de passage O(0,0) il existe une seule parabole. Dans ce cas la position du point R est fonction de la pente de la droite (D2)

Tout à fait, avec trois tangentes (sans les points de contact) et un point O (y compris si c'est un point de contact avec (D1)) ça définit une seule parabole.
la position de R ne dépend pas seulement de la pente de (D2) mais aussi du reste de la figure
Quant à la courbure en P elle sera ... ce qu'elle est, on ne peut pas la contraindre.

Construction géométrique de la parabole et des points de contact P et R
étant données les trois tangentes (D1), (D2), (H) et le point (de contact) O :

se donner les trois droites revient à se donner le triangle ABC
Tracer le cercle circonscrit à ABC et l'orthocentre H, ainsi que le symétrique H' de l'orthocentre par rapport à (D1).
Il est, propriété bien connue, sur le cercle circonscrit.
Le cercle de diamètre OH' recoupe le cercle circonscrit en le foyer F de la parabole cherchée
Le symétrique F' de F par rapport à (D1) donne la directrice (HF')
Les symétriques de F par rapport à (H) et (D2) donnent les points de contact par une construction classique du point courant d'une parabole définie par foyer et directrice.
On peut poursuivre par la construction de K, centre de courbure en P (comme dans ma figure précédente, pas répétée ici)

quant à l'équation de la parabole, je laisse cet exercice de calcul (beurk) à d'autres...

[chan79]

Si je comprends, avec trois tangentes (D1), (H) et (D2) et un point de passage O(0,0) il existe une seule parabole.

on dirait bien que oui
vois ce lien et anime.

edit: grillé; la construction correspond à celle proposée par mathafou (je viens de voir son post)

[Ben314]

quant à l'équation de la parabole, je laisse cet exercice de calcul (beurk) à d'autres...

Vu que être (ou ne pas être...) une parabole est une propriété affine (et pas euclidienne), on peut tout à fait se placer dans le repère pour faire les calculs : ça ne doit pas être trop long.

Concernant la construction des différentes paraboles tangentes, on peut aussi les voir comme les images du cercle exinscrit au triangle (ABC) par des applications projectives envoyant A->A, B->B, C->C et une des tangentes au cercle exinscrit sur la droite à l'infini : l'image sera une conique tangente à la droite à l'infini donc une parabole.
Réciproquement, toute parabole tangente peut être obtenu ainsi.

[mathafou]

... affine (et pas euclidienne), ... projectives

tout à fait, mais vu que les données du problème semblent être dans un repère donné, effectuer ensuite le changement de repère s'avèrera nécessaire. Pas forcément plus simple que le calcul direct.
De plus la courbure est une propriété euclidienne, indispensable pour "vérifier" que le rayon de courbure en P est ou pas > 150.
ceci étant dit, considérer cela comme des coniques projectives / affines permet d'obtenir les points de contact de façon "expéditive", à la règle seule + parallèles (à cause des points à l'infini) :


le théorème de Brianchon permet de construire les points de contact
via l'hexagone APBYXO, où X est le point à l'infini de la droite (D1) et Y celui de la droite (D2) :
les diagonales AY, PX et BO sont concourantes en I (théorème), la réciproque donne P :
la parallèle (AY) à (D2) en A coupe (OB) en le point I, la parallèle (PX) à (D1) en I coupe (H) en P cherché
idem avec l'hexagone ACRYXO qui donne R via le point J

Le point courant M de la parabole peut ensuite être obtenu à la règle seule par le théorème de Pascal en considérant l'hexagone OOPRRM, O sommet double et la droite OO étant la droite (D1)
et idem pour R, RR est la droite (D2).
l'intersection de (OO) et (RR) est le point C
l'intersection de (OP) et (RM) est le point U
l'intersection de (PR) et (OM) est le point V
C,U,V alignés (théorème)
la réciproque donne la construction :

soit V un point quelconque de la droite (PR)
(OP) et (CV) se coupent en U
(OV) et (RU) se coupent en un point M sur la parabole.