Proba sur N

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Nightmare
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Proba sur N

par Nightmare » 15 Juin 2013, 21:48

Trouvé au hasard de mes recherches bibliographiques :

Montrer qu'il n'existe pas de probabilité P sur N telle que tout entier tiré aléatoirement suivant P soit divisible par n avec une probabilité 1/n quel que soit n.



Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 15 Juin 2013, 23:11

Salut,
Accessible à quel niveau ?

Je ne comprends pas le "il n'existe pas". On peut toujours définir une proba, quitte à ce qu'elle soit nulle, non ?

L.A.
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par L.A. » 16 Juin 2013, 00:28

Bonsoir.

Je pense avoir trouvé, ce n'est pas très dur mais ça fait appel à de jolies choses (niveau L3-M1).

Kikoo 3 Bieber : la masse totale d'une probabilté doit être 1, elle ne peut pas être nulle.

Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 16 Juin 2013, 08:58

L.A. a écrit:Bonsoir.

Je pense avoir trouvé, ce n'est pas très dur mais ça fait appel à de jolies choses (niveau L3-M1).

Kikoo 3 Bieber : la masse totale d'une probabilté doit être 1, elle ne peut pas être nulle.

Oui c'est vrai ! J'ai dit une grosse bêtise !

Doraki
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par Doraki » 16 Juin 2013, 09:26

Il faut juste savoir que la série des 1/p pour p premier est divergente.

lapras
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par lapras » 16 Juin 2013, 10:05

Et Borel-Cantelli.

L.A.
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par L.A. » 16 Juin 2013, 10:30

Je vois qu'on pense à la même chose...

Nightmare
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par Nightmare » 16 Juin 2013, 13:25

Mais encore?

lapras
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par lapras » 16 Juin 2013, 16:56

La proba d'être divisible par p et q (premiers) sont indépendantes. Divergence de la série des 1/p. Borel-cantelli. Un nombre n'a qu'un nombre fini de diviseurs premiers.

Doraki
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par Doraki » 16 Juin 2013, 17:28

j'vois pas trop comment tu te sers de borel-cantelli.

Si x > 0,
P(N=x) <= P(N n'est pas divisible par p pour p>x) = produit des (1-1/p) pour p>x = 0.
Et pour x = 0, P(N=0) <= 1/n pour tout n puisque 0 est multiple de tout le monde, donc P(N=0) = 0.

lapras
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par lapras » 16 Juin 2013, 23:11

Doraki a écrit:j'vois pas trop comment tu te sers de borel-cantelli.

Avec l'hyp. sur la proba que P(x divisible par n) = 1/n, alors on a que P(x divisible par pq) = P(x divisible par p)*P(x divisible par q) si p et q premiers (entre eux).
Donc les évènements A_p : p divise x sont indépendants.
Or la somme des P(A_p) = infini.
Donc par Borel-Cantelli, avec proba 1 il existe une infinité de p premier tel que A_p est réalisé, autrement dit avec proba 1 un entier est divisible par une infinité de nombre premiers. Donc il existe au moins un tel entier non nul. Contradiction.

Précision:
Dans mon cours (référence : poly de J-F Le Gall Intégration, p.116 lemme 9.3.1) il y a deux énoncés de Borel Cantelli :
1) Si A_i événements tels que somme P(A_i) < infini, alors p.s. un nombre fini de A_i est réalisé
2) Si A_i indépendants tels que somme P(A_i) = infini, alors p.s. une infinité de A_i est réalisé.
Ici j'utilise 2).

Doraki
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par Doraki » 17 Juin 2013, 08:51

effectivement, wiki mentionnait que le 1 donc ça m'intrigait.

adrien69
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par adrien69 » 21 Aoû 2013, 00:39

Rien à voir, j'ai pris la dernière conversation à laquelle Lapras avait participé (désolé pour le dérangement les autres). T'as reçu mon mail ? Vide ta boîte de MP !
(D'ailleurs j'ai eu ce truc en partiel cette année je crois)

lapras
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par lapras » 22 Aoû 2013, 19:06

Désolé elle était pleine, je la vide.

 

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