Nature d'une série.

par **aviateur** » 24 Mai 2019, 16:52

Bonjour
Voici un petit exercice pas très difficile, qui aurait été posé à l'oral de polytechnique.
Soit

une suite de réels positifs telle que, pour tout

Déterminer la nature de la série de terme général

par **LB2** » 24 Mai 2019, 19:46

En notant

la suite des sommes partielles, je dirais que l'on peut montrer que

est majorée, donc converge.

par **aviateur** » 24 Mai 2019, 21:05

Peut être, mais il faut le montrer (i.e un peu de détail) . En tout cas je fais différemment.

par **LB2** » 24 Mai 2019, 21:54

oui, je crois y être parvenu mais pas par une méthode très jolie...

par **MMu** » 25 Mai 2019, 00:45

Notons

et on voit que

.
Cette relation entraîne la majoration des sommes partielles , d'où la convergence.
En effet

... q.e.d... :frime:

par **LB2** » 25 Mai 2019, 01:03

en fait c'est exactement ça que j'ai fait @MMu

par **aviateur** » 25 Mai 2019, 08:07

Bonjour
Ok c'est ça.
On peut bien sûr affaiblir les hypothèses: si

et la suite

de termes positifs vérifie pour tout

alors la série [un] est convergente.
En effet la suite des sommes partielles

admet un seul point d'accumulation dans

donc pour montrer que la série converge, il suffit de montrer que la sous-suite

est convergente.
L'hypothèse implique directement

puis

La série

est dominée par une série géométrique convergente, elle converge donc et ainsi la suite

est convergente. D'où le résultat.