Un jeu classique , suivi ? de "une preuve en maths"

[beagle]

Un jeu classique pour ceux qui ne connaissent pas.
J'ai perso, perdu la ref d'où j'ai connu ce problème.

Matériel:
-un grand plateau circulaire de 31.4 cm de diamètre
-deux plus petits de 9 cm
-un paquet de jetons ronds de 1.4cm de diamètre
-deux verres

Joueurs: deux joueurs A et B ou B et A

phase de jeu: chaque joueur à son tour dépose un jeton sur le grand plateau

but du jeu: le joueur qui ne peut plus , par manque de place, déposer son jeton sur le plateau a perdu

la question: comment jouer à cela

[Ben314]

Salut,
Soit j'ai pas bien compris les règles, soit 'est assez simple : le premier joueur commence par jouer pile au centre du disque puis, systématiquement, il joue à l'endroit diamétralement opposé à celui où vient de jouer son adversaire. Sa victoire est assurée.

[beagle]

Bonjour BEN314,
oui c'est tout fait cela.
j'aime bien la simplicité du résultat.
J'ai eu la réponse en meme temps que la question sur une vidéo web, donc je n'ai pas séché dessus,
je n'ai pas pu me rendre compte de la difficulté.(regarder ce qu'un jeu symétrique produit doit faire partie de la batterie de tests de ces jeux, donc symétrie sauf que au point central pas de symétrique différent que lui-meme).

Mais cela m'a fait tilté un autre truc.
Je m'étais fait harcelé par GBZM sur un exo que j'avais moi-mème conçu (ce qui veut dire que GBZM aurait pu se douter que j'avais mon propre support au raisonnement), pour des probas égales à 1/2 pour les deux joueurs, car meme nombre de cas favorables pour les deux joueurs. GBZM me harcèle alors, tu dois montrer une bijection pour montrer ton autant.
C'était tellement ridicule au regard de mon support que je refusais de me soumettre à son diktat de bijection.

Bref , à partir de l'exo je me suis dit que l'on acceptait bien directement d'autres situations d'égalité de autant que, meme nombre de, sans aller définir une sacro sainte bijection.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Tant qu'à faire @beagle, tu aurais pu mettre le lien sur la discussion à laquelle tu fais allusion :
https://www.maths-forum.com/enigmes/probabilites-liees-independantes-encore-t205531.html
Comme ça chacun pourra se faire son idée, n'est-ce pas ?

[beagle]

Bonjour GBZM,

j'ai relu le fil en question.
Cela commence avec deux pages d'agression de la part d'aviateur qui dans un problème où on demande de montrer sans le calcul l'ordre des probas, fait un calcul faux des probas. Ce n'est pas un soucis une erreur de calcul, mais comme on demande l'ordre , se tromper par son calcul ben c'est avouer qu'on n'a rien compris .Passons.

Ensuite tu arrives, fait de belles démonstrations , c'est ok.
Mais tu m'attaques sur deux points:

-la bijection obligatoire. On reviendra peut-ètre dessus car tu ne m'as pas convaincu

-mes affirmations qu'il s'agit d'un problème de probas indépendantes ou liées négativement ou positivement, reçoivent le commentaire: "C'est une belle histoire, mais ce n'est pas des mathématiques.".
Je vais mettre les termes sans doute plus maths, mais dirais-tu toujours que ce problème n'a rien à voir avec les probabilités d' évènements indépendants ou corrélélés positivement ou négativement.

[vam]

Bonjour

Les mots agressions, etc. n'ont pas leur place sur ce site.
Je n'accepterai en aucun cas qu'un fil dérape.
A bon entendeur...

admin.

[GaBuZoMeu]

Bijection ou pas, ce qui est obligatoire pour justifier une affirmation en mathématiques, c'est une démonstration. "On peut facilement montrer" n'est pas une démonstration. Si c'est facile, on le fait, et de manière compréhensible.

[beagle]

Par exemple:
"Là tu écris une affirmation. Je demande un argument. En particulier, que tu explicites comment tu utilises les hypothèses du 3. Pourquoi y a-t-il, parmi les distributions satisfaisant à la condition 3 et telles que Yves a les k premières cartes de coeur, autant de distributions pour lesquelles Yves a la k+1 - ème que de distributions pour lesquelles c'est Pierre qui a la k+1-ème."

Ben d'abord j'utilise un raisonnement que j'avais appelé séquentiel:
les 8 cartes coeurs sont numérotées de 1 à 8.
Si je prends un emplacement quelconque des cartes 1 à k, alors je regarde où il est possible de mettre la carte k+1.
Les k premieres cartes déjà posées sont les sachant que.Je sais que les colonnes de ces cartes ne sont pas permises.
L'information sachant que me dit je ne peux plus placer la k+1 dans ces k colonnes.

Donc là je dis quelle proba j'ai de poser une carte coeur sur les places disponibles.
Je dis en équiprobabilité, je peux placer la k+1 carte dans la rangée joueur A dans les 16 - k colonnes restantes
ou dans les 16-k colonnes de rangée joueur B.

Si je fais cela j'aurais en équiprobabilité les cartes coeurs fois l'équiprobabilités des cartes non coeur.
J'ai toutes les permutations qui respectent mon sachant que pas plus, pas moins et en équiproba)

[beagle]

Pour la deuxieme c'est idem,
le raisonnement est idem
et les permutations des cartes non coeur dans les k premieres carte déjà présentes, le sachant que,
ben s'il existe un cas pour une disposition des k premieres cartes, suffit de reprendre ce cas pour une autre disposition.
Et donc tous les cas qui marchent pour une dispo marchent pour toutes.

Mais j'avais dit par contre il faut s'assurer de l'existence de au moins une disposition possible.
Sinon on pourrait avoir une proba 1/2 de sortie d'un truc qui n'existe pas.

[beagle]

Dès le début des probas on voit bien, dans les premiers problèmes, deux façons de faire :

-une méthode combinatoire, je l'appelle aussi méthode globale:
on utilise les combinaisons c'est des : C(truc)x C(machin) / C(total) pour résumer

une méthode que j'appelle séquentielle, doit on l'appeler non combinatoire ? :
on utilise une multiplication de probas:
dans le cas présent j'ai ordonné les 8 cartes coeur: et je cherche
proba(C1) x proba (C2 sachant C1) x ...x proba(Ck+1 sachant Ck)
la proba des 8 coeurs étant : p1xp2xp3xp4xp5xp6xp7xp8

Il me semble que toutes tes reflexions sur dénombrer s'appliquent à la méthode combinatoire:
ex:"je ne vois pas que tu as dénombré le nombre de cas favorables ni le nombre de cas totaux possibles (à savoir le nombre de distributions vérifiant la condition 3 et telles que Yves a reçu les k premiers coeurs)."
Non car on s'en fiche en méthode séquentielle.

Dans la méthode séquentielle c'est un autre dénombrement qui est recherché, ce dénombrement se fiche royalement d'une partie des dénombrements que tu réclames.
D'ailleurs j'avais mis la distribution 2 en me disant cela va un peu ralentir les utilisateurs de la méthode combinatoire. Je considère les distributions 2 et 3 comme favorables à l'utilisation de la méthode séquentielle.


Et là où cela devient intéressant c'est que le dénombrement de la méthode séquentielle repose directement sur les contraintes spatiales, et donc permet à mon sens une bien meilleure compréhension de ce qui se joue.

Si on observe le fameux file de discussion, on ne voit jamais aviateur nous parler des contraintes spatiales, toi non plus dans tes remarques il n' y a rien des contraintes d'espaces.
Tu avais refusé d'en faire également comme proposé un problème de compréhension des probas d'évènements indépendants ou corrélés positivement ou négativement. Et tu t'es bien gardé de répondre à cette question dans le message de ce fil de discussion.

Bref on peut faire un minimum de géométrie dans ce problème et on n'a jamais pu l'aborder..

Donc oui j'ai le sentiment que lorsque tu trouves une méthode de démonstration, tu n'as qu'un seul souhait , que l'on dise que c'est la meilleure. Tu n'es jamais (?) dans une démarche de favoriser une autre approche.

[GaBuZoMeu]

Une nouvelle fois, je sais bien que le résultat est correct et je peux le démontrer en suivant ce que tu fais. On gagne toujours à expliciter ses arguments, même pour sa propre compréhension. C'est mon expérience personnelle : quand j'écris des maths, je suis parfois tenté d'écrire "il est bien clair que ...". Quand je surmonte cette tendance pour produire une argument complet, je m'aperçois que ça me conduit pratiquement toujours à améliorer la présentation et, finalement, produire un texte plus court. Faire court mais explicite, ça facilite la compréhension du lecteur ou de la lectrice.

[beagle]

j'essaye de faire le cas numéro 4 avec la méthode séquentielle qui finalement serait mieux nommée ?,
méthode avec les probabilités conditionnelles.Sans doute qu'ainsi nommée GBZM aurait moins tapé sur évènements indépendants ou corrélés positivement ou négativement.("c'est une belle histoire mais pas des maths"

Donc l'énoncé initial réécrit par GBZM :"Un jeu de 32 cartes ordinaire, qu'on distribue aux deux joueurs Yves et Pierre. 16 tours de distribution, pour chaque tour d'abord une carte à Yves puis une carte à Pierre. Comparer sans calcul les probas suivantes :
1) proba que Yves ait les huit coeurs
2) proba que Yves ait les huit coeurs, sachant qu'il n'y a aucun tour avec deux cartes de même couleur (couleur = trèfe, carreau, coeur, pique)
3) proba que Yves ait les huit coeurs, sachant qu'il n'y a aucun tour avec deux coeurs
4) proba que Yves ait les huit coeurs, sachant qu'il n'y a pas deux coeurs successifs dans la distribution.
"

Déjà précisons que le sans calcul était sans calculer chaque proba de façon précise.
Donc faisable en dénombrement et probas conditionnelles
Ici on va faire le cas 4)
Donc on prend un ordre des cartes coeur : C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8
et la proba des huit coeur pour premier joueur sera:
p1xp2xp3xp4xp5xp6xp7xp8
proba d'avoir la 1 puis proba d'avoir la 2 sachant C1 presente, puis proba de Ck+1 sachant les k premières cartes coeur présente premier joueur

Pour le spatial on prend un tableau , une matrice les deux rangées sont les joueurs, les colonnes sont les tours de donne, les tours de distribution des cartes.
les cartes sont donc distribuées:
Yves ...: 13579...
Pierre :246810...

juste pour poser le problème, on commence.

[beagle]

1) première inspection des lieux:
Si vous prenez un exemple de 5 premières cartes distribuées à Yves,
on voit tout de suite que en rangée Yves a 5 emplacements de pris,
en rangée Pierre 5 emplacements pris pour les mèmes colonnes que Yves (c'est pas de coeur juste après la carte coeur de Yves) et un emplacement supplémentaire de pris chez Pierre, en colonne précédente (pas de cartes coeur juste avant celle de Yves). Il n' y a pas forcément 5 emplacements supplémentaires de pris car il y a des doublons si deux cartes coeur de Yves sont adjacentes.
Pour autant visuellement, où placer la sixième carte coeur, chez Yves ou chez Pierre,
ben plus d'emplacements chez Yves
moins d'emplacements chez Pierre
Sauf égalité qui est possible du fait que en premiere colonne on est en 1 pour 1 puisque rien à gauche.
Bref je crois que visuellement cela va donner pour proba de Ck+1 sachant k coeurs une situation d'évenements corrélés négativement.
Juste en plantant le décor

2)deuxième inspection des lieux: les probas pk sont variables selon la distribution, la coalescence plus moins importantes des cartes, le nombre de cartes adjacentes, l'existence d'un carte première colonne.
C'est un changement majeur par rapport aux 3 distributions précédentes où p1 , p2 , p3 ,... étaient fixes.
On en déduit que la méthode par proba conditionnelle n'est pas la méthode de calcul précis de proba avoir les 8 coeurs pour Yves.
Mais ce n'était pas la question

3)donc ce que l'on souhaiterait démontrer:
puisque la distribution 1 faisait du 1/2 puis moins de 1/2 puis moins de 1/2, décroissante (monotone vous dites aussi je crois)
puisque les distributions 2 et 3 étaient 1/2 fois 1/2 fois 1/2..., constante à 1/2

on voudrait montrer que la distribution 4 est avec des probas pk supérieure à 1/2 ou égales par périodes à 1/2.En gros peu importe que je ne sache pas les pondérations qui permettent le calcul de pk précis (réél total , pas le pk d'une distribution donnée), puisque cela sera une pondération de supérieur ou égal où le égal n'est qu'un facteur à pondérer et ne peut pas ètre 100%)
Si on pondère du sup ou égal cela donne du sup à 1/2 strict.

alors on le fait maintenant.

[beagle]

Donc la proba de placer la k+1 ieme carte coeur chez Yves sachant que Yves a les k premieres,
donne le pk+1 de la distribution individuelle (il aurait fallu peut-ètre parler de P(k+1) pour distinguer la proba k+1 totale de toutes les distributions k.
Ici on parle de la pk+1 individuelle.
C'est le nombre d'emplacements vides chez Yves divisé par le nombre d'emplacements libre total.

Donc on commence par le calcul des emplacements pris
chez Yves il ya k emplacements de pris
chez Pierre il y a les memes k emplacements de colonnes identiques à Yves + k emplacements de colonne précédentes, donc 2k moins les doublons
les doublons sont au nombre de cartes adjacentes moins 1, pour chaque groupe de cartes adjacentes, sachant que la carte en premiere colonne est à intégrer dans les adjacentes

C'est l'union des emplacements interdits apportés par chaque carte,
moins l'intersection des emplacements (doublons)

les cases vides remplissables pour la prochaine carte coeur
16- k pour Yves
16- k - (k-doublons)

ce qui donne pour pk+1 une valeur supérieure à 1/2 souvent égale à 1/2 parfois

donc une pondération du Pk+1 supérieur 1/2 strict

[GaBuZoMeu]

Soit E l'univers de toutes les distributions possibles. Elles sont équiprobables. Le problème de probabilités est donc en fait un problème de dénombrement.

Soit A l'évènement "les 8 coeurs sont chez Yves".
Soit B l'évènement "aucun tour n'a les deux cartes de même couleur".
Soit C l'évènement "aucun tour n'a deux coeurs"
Soit D l'évènement "pas deux coeurs successifs"

On a P(1)=P(A), P(2)=P(A|B), P(3)=P(A|C), P(4)=P(A|D).

On a clairement A contenu dans D qui est contenu strictement dans C qui est contenu strictement dans E.

Donc P(1) = #A/#E < P(3) = #A/#C < P(4) = #A/#D. (# veut dire "nombre d'éléments de")

Je peux détailler le "clairement", si besoin.

[beagle]

J'adore bien sur ta solution, esthétique, rapide,
et ensembliste me fait toujours plaisir.
(et qui vraiment ne propose pas de calculs, sauf la bijection qui compte

Ce que je n'avais pas compris à l'époque, ce que je ne comprends toujours pas de nos jours,
c'est à partir de quand du :
supérieur ou égal
ou supérieur ou égal
ou supérieur ou égal
avec le égal qui ne répond pas à tous les cas de figure,

pourquoi cela ne fait pas du strictement supérieur.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas le sens de ta question.

[beagle]

Le titre du fil est une preuve en maths,
c'est à dire ce qui est accepté ou pas accepté comme preuve suffisante dans un problème.
Par exemple avec symétrie, on peu dire du fait de la symétrie truc j'ai autant de ... que de ...
puisque c'est accepté comme bijection.

Donc dans le problème que j'avais énoncé, on parle de classer les probas, c'est à dire j'en ai plus , j'en ai moins
j'en ai autant,
qui sont des apprentissages de la maternelle.
Donc quand, dans quelle situation, on accepte un apprentissage de la maternelle comme suffisant.

Les enfants savent dire si un sachet de bonbons a autant ou a plus ou moins de bonbons qu'un deuxième sachet,
la bijection est faite par exemple en regroupant chaque bonbon un pour un, et on regarde à la fin si il reste des bonbons dans un seul sachet c'est le plus rempli etc...

Restons gamins dans cet exo:
on a des jetons numérotés de 1 à 20 en grande quantité de chaque.
On distribue à deux personnes A et B , à chaque fois, le meme jeton numéroté = meme numéro. Personne B reçoit en plus un autre jeton au hasard. On fait cela mettons 6 fois.

-sur une seule passe qui a le plus, le moins, ou autant de numéros de jetons (= jetons différents en numéro): A ou B
-sur 100 passes, qui a le plus ,le moins ,ou autant de jetons: A ou B

[GaBuZoMeu]

Peux-tu répondre sur le sens de ta question trois messages plus haut ?

[beagle]

c'est curieux de ne pas comprendre mon message pas clair , ok, , à partir d'un exemple simple, les jetons.
c'est un exemple de ce que je voulais dire.

Dans les situations où je peux gagner soit plus , soit autant,
et cette situation est répétée,
si la situation d'égalité ne fait pas 100%
ben la somme , ou la moyenne ou une combinaison linéaire je sais pas si c'est le terme d'une pondération des résultats obtenus,
moi je la vois obligatoirement comme un strictement supérieur.

Si c'est toujours pas clair , répond juste à l'exo.
Ce que je veux savoir c'est si c'est accepté comme réponse ou bien si il y a objection mathématique.