Limite "classique"

[Ben314]

Salut,
Un petite "amusette" sans doute connus de certains :

Pour tout entier , on note la proportion d'entiers entre 1 et n qui sont premiers avec n, c'est à dire où est le nombre d'entiers entre 1 et n qui sont premier avec (indicatrice d'Euler).

On peut montrer assez facilement que la suite n'admet pas de limite lorsque au sens classique du mot "limite".
Mais cette même suite admet-elle une limite au sens de Cesàro, c'est à dire la suite de terme général admet-elle une limite ?

P.S. Il est fort possible que je radote et que j'ai déjà posé la question...

[LeJeu]

Je dirais, Sn doit converger vers la probabilité que deux nombres soient premiers entre eux
soit 6/pi²

[Ben314]

Tout a fait, bravo !

[Doraki]

Ben non c'est pas si évident que ça.

Normalement la proba que 2 nombres soient premiers entre eux, est définie comme lim (n-> l'infini) #{(a,b) / 1<=a,b,<=n et gcd(a,b)=1} / n²
Déjà même dans ce cas là il faut justifier que la limite correspond au produit eulérien, d'ailleurs là je sais même plus comment on fait ça proprement.

Mais ici ce n'est pas la même chose du tout, le poids sur les couples de petits nombres est beaucoup plus grand que le poids sur les couples de grands nombres (le couple (a,b) à un poids de 1/max(a,b)), en quelque sorte c'est aussi une limite de probabilités, mais la manière dont tu tires au sort ton couple n'est pas du tout la même. Et il n'y a aucune raison que ça ne change pas la proba.

Bon ce que je peux quand même dire c'est que là suite en question est majorée par une suite qui tend vers 6/π². Me reste à minorer la suite mais j'y ai pas tellement trop réfléchi.

[Ben314]

Attention, j'ai jamais dit que c'était évident...

Déjà, pour pas ce faire c... je pense qu'on peut partir du fait supposé "connu" que la proba que deux nombres soient premiers entre eux est 6/pi² (en prenant comme définition celle que tu donne) [c.f. EDIT çi dessous]

Ensuite, il y a effectivement un petit "bricolage" à faire pour montrer que la limite de la suite est bien la même que celle de ton

J'ai supposé (peut-être à tort...) que LeJeu avait fait le "bricolage" en question (en tout cas, je confirme que c'est bien la bonne limite...)

EDIT : Une preuve "propre" du fait que la proba que deux entiers soient premiers entre eux est bien 6/pi² :
http://minerve.ens-rennes.fr/images/Dvt ... remier.pdf

[LeJeu]

Attention, j'ai jamais dit que c'était évident...

Ensuite, il y a effectivement un petit "bricolage" à faire pour montrer que la limite de la suite est b

Oui , j'ai essayé de bidouiller... j'ai un début de piste , et j'avoue que je ne suis pas sûr de pouvoir conclure

Je suis parti de l'idée que le résultat était acquis
et j'ai conjecturé que pour certaine suite U(n) on avait la propriété :



c'est vrai pour des série élémentaires genre : , ca se vérifie facilement

C'est vrai aussi pour des séries plus chahutées comme : , avec alea() une variable aléatoire
Et là je ne sais pas le montrer

Ce genre de série ressemblant "un peu" à l'indicatrice d’Euler qui a bien la propriété conjecturée et là encore la marche est haute pour moi , l'idée serait de décomposer en quelque chose comme
alea valant 0 pour les nombres premiers , je sais ... c'est pas gagné

Ben je veux bien que tu me dises si ça peut être un bidouillage gagnant ou si je suis complètement à coté de la plaque, ce que je commence à croire ....

[Ben314]

C'est tout a fait ça.
Et ça se fait (relativement) gentiment en faisant du "coupage de epsilon" en tranche, un peu comme on le fait pour montrer que, si une suite converge au sens usuel, alors elle converge (vers la même limite) au sens de Césaro.

Là, on part du fait supposé "connu" que et il faut en déduire que

[Matt_01]

On peut même utiliser Cesaro :

On suppose que et on note . Donc converge vers 0.
On applique alors Césaro à cette suite, et en utilisant le fait que et en manipulant les indices on obtient (modulo des constantes inutiles) que tend vers 0.
Or , et on conclut.

Si l est non nul, on considère pour se ramener au cas .