Intégrale tordue

[bdupont]

Pour ceux qui souhaitent s'entraîner à intégrer (niveau terminale ++), cette question posée à l'examen d'entrée à Cambridge.



Réponse dans une semaine (si besoin)

[yos]

Appelle J la même intégrale avec un sinus à la place du cosinus au numérateur.
qI+pJ=pi/2

pI-qJ=ln(p/q)

d'où I=...

[Mikou]

Yos tu nous gaches le plaisir de chercher la ...

[yos]

Désolé. Pour me faire pardonner :

[bdupont]

N'est-ce pas plutôt


Auquel cas la réponse serait bien sûr

[yos]

ah si! j'ai mis un ln en trop.
Et il faut bien sûr a,b >1.

Par contre ta réponse m'a l'air fausse : essaie a=3, b=2. L'intégrale est positive et ta valeur négative. Peut-être as-tu inversé a et b?
Je ne connais pas la réponse par coeur mais j'ai une méthode. A propos de méthode, je ne saurais me contenter de ton : "Auquel cas la réponse serait bien sûr" ...

[bdupont]

Exact, petite erreur de signe en fin de parcours



Pour la méthode je laisse un peu de temps à ceux qui cherchent encore.

Je peux dire que l'astuce de départ consiste à repérer que la fonction à intégrer est elle-même une intégrale.

J'ai tracé le graphique de la fonction pour a=3 et b=2. Il suffit de cliquer sur la tache ci-dessous.
[img][IMG]http://images1.pictiger.com/thumbs/c7/432faab42d662075dba61817869e6ec7.th.png[/img][/IMG]

[bdupont]

Si certains étaient tentés par la méthode "brute force", je leur soumets la solution proposée par http://integrals.wolfram.com/index.jsp :ptdr: :ptdr:

[img][IMG]http://images1.pictiger.com/thumbs/d8/5f7e6b1fa5f9740f66c5437b200425d8.th.gif[/img][/IMG]

[yos]

Quelle horreur ce calcul effectué par une machine!

On peut aussi faire ça :

.
.
Cette dernière intégrale se calcule classiquement en posant u=tan(x/2):
.

d'où la valeur de f(a)-f(b)