Défi sup (pas élégant) : calcul d'intégrale

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Calculer :

avec 0<a<1.

J'aimerais savoir votre façon de mener le calcul, la mienne ayant pris (à mon goût) trop de lignes. Ce n'est pas tellement un défi en soi... Mais un calcul un peu fastidieux !
Bonne chance !

[fma]

Si c'est le n°6
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CC8QFjAA&url=http%3A%2F%2Fcahier-de-prepa.fr%2Fpt-rouviere-toulon%2Fdownload%3Fid%3D35&ei=3iy6UYboIsGGhQfrlIBg&usg=AFQjCNEFtKDRhJiW0vCvzMIE0UnOzqyt5A&bvm=bv.47883778,d.ZG4

il a été étudié là...

[Kikoo <3 Bieber]

Certes, mais une belle solution courte ? :)

[fma]

Et ça ?

[Luc]

Salut,

Calculer :

avec 0<a<1.

J'aimerais savoir votre façon de mener le calcul, la mienne ayant pris (à mon goût) trop de lignes. Ce n'est pas tellement un défi en soi... Mais un calcul un peu fastidieux !
Bonne chance !

Salut,

j'ai fait le calcul, et effectivement c'est assez long. Je ne vais pas détailler mais voici mon plan de calcul:
-A y fixé, poser t=tan(x/2) et calculer la primitive en t comme une fonction de y. (on reconnait une arctangente d'une fonction de y, que je note u(y))
- Ensuite, on fait le changement de variable u=u(y) et on obtient une fonction de u, à intégrer.
- Mais on connait une primitive de arctangente, donc l'écriture permet de calculer l'intégrale cherchée en fonction du paramètre a.

EDIT : Apparemment j'ai fait des erreurs de calcul, à voir.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

j'ai fait le calcul, et effectivement c'est assez long. Je ne vais pas détailler mais voici mon plan de calcul:
-A y fixé, poser t=tan(x/2) et calculer la primitive en t comme une fonction de y. (on reconnait une arctangente d'une fonction de y, que je note u(y))
- Ensuite, on fait le changement de variable u=u(y) et on obtient une fonction de u, à intégrer.
- Mais on connait une primitive de arctangente, donc l'écriture permet de calculer l'intégrale cherchée en fonction du paramètre a.
- J'ai vérifié que mon résultat était nul en a=0, c'est assez moche en a=1/2 (mais ça doit rester positif), que dire de a=1? A-t-on continuité?

EDIT : Je pense que oui, d'ailleurs la formule que je trouve donne pour a=1 une aire d'environ 1,2 qu'on peut retrouver à la physicienne : sur le domaine d'intégration, le cos(x) vaut en moyenne 1/2, y aussi, donc , à comparer avec que donne la formule exacte.

Salut Luc, ça fait longtemps !

Ah d'accord, donc tu étais parti sur du Fubini, comme moi. Le prof a dû me donner la formule cos(x)=(1-t²)/(1+t²) après chgt de variables pour m'éviter de devoir le retrouver. Mais il n'empèche que je n'ai pas réussi à aller jusqu'au bout ! En m'étant arrêté à l'arctangente, le prof m'a suggéré de voir racine{(1+t)Arctan(t)/(1-t)} (ou quelque chose du genre) comme un carré, ce que tu as fait. Mais il m'a fait passer sur un autre exo pour que l'on revienne sur celui-ci en fin d'heure... Et non, je ne l'ai pas terminé du coup !

Je voulais donc essayer de trouver une méthode moins brutale, mais rien ne me faisait penser à quelque chose de plus simple que Fubini... J'envisageai Green-Riemann avant de me dire que j'étais trop fainéant pour essayer de paramétrer un contour sympathique. Cet argument de facilité a eu raison de calculs fastidieux, voire impossibles !

[chan79]

Salut
J'arrive à ça. Qu'en pensez-vous ?

[fma]

Salut
J'arrive à ça. Qu'en pensez-vous ?

J'ai l'impression d'avoir vu un résultat semblable dans un lien donné et ensuite effacé pour respecter votre recherche ; peut-être Kikoo l'a t-il encore (1ere réponse au topic : "il a été étudié là..., lien effacé").

Si mes liens gonflent, j'aimerais le savoir ; car je ne suis pas compétant pour vous suivre, mais en les partageant, j'apprends beaucoup de choses, mes outils mathématiques étant pauvres. Il ne faudrait pas que ça trouble votre intérêt pour les défis, qui ici n'en est pas tout à fait un.
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-218493.html

[chan79]

Si mes liens gonflent, j'aimerais le savoir ; car je ne suis pas compétant pour vous suivre, mais en les partageant, j'apprends beaucoup de choses, mes outils mathématiques étant pauvres. Il ne faudrait pas que ça trouble votre intérêt pour les défis, qui ici n'en est pas tout à fait un.
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-218493.html

Merci pour ton lien (C'est bien le même résultat )
Tes liens ne gonflent pas, d'ailleurs chacun est libre de cliquer ou pas :zen:

[fma]

C'est sympa

[Luc]

Salut
J'arrive à ça. Qu'en pensez-vous ?

J'ai refait mes calculs et je confirme ce résultat!
L'intégrale obtenue à la fin se calcule directement par primitivation (ff' est la dérivée de 1/2f^2).

Je suis curieux de la méthode pour Green Riemann, sur cet exemple, ou sur un exemple plus simple. Est-ce qu'on est assuré que Green Riemann donne un résultat, même quand Fubini ne permet pas de donner une formule "close"?

[chan79]

L'intégrale obtenue à la fin se calcule directement par primitivation (ff' est la dérivée de 1/2f^2).

C'est bien ce que j'ai fait.
Je pense qu'on doit pouvoir conclure que:

[Luc]

C'est bien ce que j'ai fait.
Je pense qu'on doit pouvoir conclure que:

Effectivement, on peut passer à la limite, et donc en déduire la valeur de

[chan79]

Effectivement, on peut passer à la limite, et donc en déduire la valeur de

Petite vérification avec geogebra
geogebra ne peut évidemment pas calculer l'intégrale de f entre 0 et 1
mais si on prolonge f par continuité en posant g(1)=1 et g(x)=f(x) sinon, il calcule cette intégrale et trouve I=pi²/8

[chan79]

Effectivement, on peut passer à la limite, et donc en déduire la valeur de

A noter que si on veut vérifier avec geogebra, il ne calcule bien-sûr pas l'intégrale de f de 0 à pi/2 mais si on prolonge f par continuité en posant g(pi/2)=1 et g(x)=f(x) sinon, alors il accepte le calcul et on retrouve bien