Un exercice pas très dûr mais sympathique :
Soient f : R -> R une application continue et g : R-> R définie par
Montrer que si g décroît sur R alors f=0
:happy3:
Intégrale et fonction nulle
38 messages
- Page 1 sur 2 - 1, 2
Intégrale et fonction nulle
par Nightmare » 17 Juil 2006, 12:16
Bonjour :happy3:
Un exercice pas très dûr mais sympathique :
Soient f : R -> R une application continue et g : R-> R définie par=f(x)\Bigint_{0}^{x} f)
Montrer que si g décroît sur R alors f=0
:happy3:
Un exercice pas très dûr mais sympathique :
Soient f : R -> R une application continue et g : R-> R définie par
Montrer que si g décroît sur R alors f=0
:happy3:
par nekros » 17 Juil 2006, 12:49
Salut,
On considère donc=f(x)\int_0^{x} f(t)dt)
Supposons que
décroît sur 
c'est-à-dire que  \le 0)
Or, la fonction
est continue sur , donc elle admet des primitives de classe 
sur qui ne diffèrent que d'une constante.
Notons
l'une d'entre elles.
On a donc :=f'(x)\int_0^{x} f(t)dt+(f(x))^2 \le 0)
Il vient donc que)^2 \le -f'(x) \int_0^{x} f(t)dt)
En
(car est continue sur ), on a )^2 \le 0)
ce qui est impossible sur
Correct ou pas ?
Thomas :zen:
On considère donc
Supposons que
Or, la fonction
Notons
On a donc :
Il vient donc que
En
Correct ou pas ?
Thomas :zen:
par Nightmare » 17 Juil 2006, 13:00
Au passage je signal que l'écriture dx)
est incorrect, il faudrait plutot écrire dt)
par Nightmare » 17 Juil 2006, 13:23
Oui au temps pour moi. Mais ta solution ne marche pas quand même, car il n'est pas dit que f est dérivable.
:happy3:
:happy3:
par nekros » 17 Juil 2006, 13:25
Arf oui tu as raison. :marteau:
Je continue de chercher...
Thomas G :zen:
Je continue de chercher...
Thomas G :zen:
par Mikou » 17 Juil 2006, 13:33
On peut traiter deux cas simples :
*f positive sur [0,+inf[
=> g(x) superieure a 0 or g(0) = 0 et g est decroissante donc pour tout x g(0) superieur a g(x) superieur a 0 donc g(x) = 0
soit pour tout x f(x)= 0 soit pour tout x
donc F(x)-F(0) = 0 -> f est constante et par consequent a 0
*f negative sur [0,+inf [
on traite de la meme facon
ensuite on traite le cas f quelconque en decoupant [0,x] en petits intervalles ou le signe de f est connue et on re utilise ce que jai di precedement.
C'est ca nightmare nan ? :happy3:
*f positive sur [0,+inf[
=> g(x) superieure a 0 or g(0) = 0 et g est decroissante donc pour tout x g(0) superieur a g(x) superieur a 0 donc g(x) = 0
soit pour tout x f(x)= 0 soit pour tout x
donc F(x)-F(0) = 0 -> f est constante et par consequent a 0
*f negative sur [0,+inf [
on traite de la meme facon
ensuite on traite le cas f quelconque en decoupant [0,x] en petits intervalles ou le signe de f est connue et on re utilise ce que jai di precedement.
C'est ca nightmare nan ? :happy3:
par Nightmare » 17 Juil 2006, 14:06
Hum compliqué un peu non ? Et je ne suis pas sûr que ça aboutisse...
Il y a une méthode beaucoup plus simple que je vous laisse trouver.
Il y a une méthode beaucoup plus simple que je vous laisse trouver.
par Mikou » 17 Juil 2006, 15:41
Sisi elle donne qq chose ma methode nightmare.
la preuve si f negative alors alors
de meme pour f donc on aurait par produit g(x) superieur a 0 or la fonction est decroissante et g(0) =0 -> comme je lai deja demontré dans lautre cas on aurait necessairement f(x)=0 pour tout x dans [0,+inf[
A present On considere f une fonction on decoupe [0,+inf[ en petits intervalles ou le signe de f est supposé connu ansi g(x) = \int_0^a f + f(b) \int_a^b f ....)
on a par ailleurs justifier que sur tout intervalle de la forme [a,b] ou le signe de f est constant \int_a^b f .... \geq 0)
La somme est egale a 0 si et seulement si chaqun vaut 0, dapres ce que jai
deja fait sur interval [0,a] [a,b] ... [@,x] on aurait f=0 soit finalement sur [0,x] f(x)=0 ... c'est fini :lol4:
la preuve si f negative alors alors
de meme pour f donc on aurait par produit g(x) superieur a 0 or la fonction est decroissante et g(0) =0 -> comme je lai deja demontré dans lautre cas on aurait necessairement f(x)=0 pour tout x dans [0,+inf[
A present On considere f une fonction on decoupe [0,+inf[ en petits intervalles ou le signe de f est supposé connu ansi g(x) =
on a par ailleurs justifier que sur tout intervalle de la forme [a,b] ou le signe de f est constant
La somme est egale a 0 si et seulement si chaqun vaut 0, dapres ce que jai
deja fait sur interval [0,a] [a,b] ... [@,x] on aurait f=0 soit finalement sur [0,x] f(x)=0 ... c'est fini :lol4:
par Nightmare » 17 Juil 2006, 15:51
Mikou a écrit:
A present On considere f une fonction on decoupe [0,+inf[ en petits intervalles ou le signe de f est supposé connu ansi g(x) =
Je ne suis pas sûr de cette égalité ...
par Nightmare » 17 Juil 2006, 15:54
Ta démonstration est biscornue ...
Une idée simple est de poser=\(\Bigint_{0}^{x} f\)^{2})
:happy3:
Une idée simple est de poser
:happy3:
par nekros » 17 Juil 2006, 17:09
Donc l'idée est de dériver deux fois pour arriver à une contradiction, non ?
Thomas G :zen:
Thomas G :zen:
par Nightmare » 17 Juil 2006, 17:14
Une fois suffit :happy3:
On voit que G'=2g or g décroit sur R ... Continuez
On voit que G'=2g or g décroit sur R ... Continuez
par nekros » 17 Juil 2006, 17:48
Oui, j'avais dérivé deux fois pour finalement revenir au même résultat ! :mur:
=(\int_0^{x} f(t)dt)^2)
Donc=2(F(x)-F(0))^{'} \int_0^{x} f(t)dt=2f(x)\int_0^{x} f(t)dt=2g(x))
Or, est décroissante sur d'où 
est également décroissante sur
Or,=0)
Donc \ge 0)
pour 
et  \le 0)
pour 
On en déduit donc que
est croissante pour et que est décroissante pour
Or,=0)
donc  \ge 0)
pour et  \le 0)
pour
Or,
,
D'où la contradiction.
On en déduit donc que, =0)
On a doncdt)^2=0)
soit dt=0)
Pour conclure que
, il faut que soit positive (et continue)
Soit quelquechose m'échappe, soit j'ai fait une erreur...
Donc
Or,
Or,
Donc
On en déduit donc que
Or,
Or,
D'où la contradiction.
On en déduit donc que
On a donc
Pour conclure que
Soit quelquechose m'échappe, soit j'ai fait une erreur...
38 messages
- Page 1 sur 2 - 1, 2
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 7 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :