Géométrie dans le plan

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
zvap
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Géométrie dans le plan

par zvap » 19 Juin 2015, 15:13

Bonjour je vous soumets un petit exercice qui m'a paru simple mais qui m'a donné un peu de fil a retordre au final, du coup je me demande s'il n'y a pas une solution plus simple et plus élégante que celle que j'ai trouvé pour résoudre le probleme.

Image

Il s'agit de déterminer la position de A, en connaissant la longueur AB=L, et sachant que (AB) passe par le coin d'un carré de 1 de coté



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Ben314
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par Ben314 » 19 Juin 2015, 15:40

Salut,
Si A:(0,a) et b:(b,0) alors la droite (AB) a pour équation y=a-(a/b)x et elle doit passer par (1,1) donc on doit avoir 1=a-a/b, c'est à dire a+b=ab=K.
Or on doit aussi avoir L²=a²+b²=(a+b)²-2ab=K²-2K c'est à dire K²-2K-L²=0 qui permet de trouver K.
Enfin, a et b sont racine du polynôme (X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab=X²-KX+K et comme on connait K, on en déduit a et b.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

zvap
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par zvap » 19 Juin 2015, 16:53

Ben314 a écrit:Salut,
Si A:(0,a) et b:(b,0) alors la droite (AB) a pour équation y=a-(a/b)x et elle doit passer par (1,1) donc on doit avoir 1=a-a/b, c'est à dire a+b=ab=K.
Or on doit aussi avoir L²=a²+b²=(a+b)²-2ab=K²-2K c'est à dire K²-2K-L²=0 qui permet de trouver K.
Enfin, a et b sont racine du polynôme (X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab=X²-KX+K et comme on connait K, on en déduit a et b.


Effectivement c'etait plus simple que ma méthode (thales/Pythagore) ou j'ai été obligé de résoudre une equation de degrés 4 ( y^4+2y^3+(2-L²)+2y+1=0 )

godzylla
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par godzylla » 19 Juin 2015, 19:17

j'ai pas compris comment tu trouvais
1=a-a/b, c'est à dire a+b=ab=K.
1+a/b=a
1+a=ab

vite fait je trouve cela:

L=racine de (oa-1)²+1² + racine de (ob-1)²+1²
L-racine de (ob-1)²+1²=racine de (oa-1)²+1²
L²+(ob-1)²+1²=(oa-1)²+1²

L²+ob²-2ob+1+1²-1²=(oa-1)²
racine de(L²+ob²-2ob+1)+1=oa

c'est une bonne question même si il y a plusieurs possibles valeurs pour A, j'ai pas le temps mais je poserais bien x sur L pour trouver un système comme:
(L/x)²-a²=(x/L)²-b²

Pour le triangle va correspondre un carré de 1² et un rectangle (oa-1)X(oB-1) et un triangle rectangle plus petit.
peut etre qu'il y a une equation pour trouver l'amplitude de solutions possible qui serra relatif a L et la distance minimum de OA par rapport a 1serra peut etre une porportionalité de L avec oB

je viens de regarder avec l'equivalent d'un baton de longueur L la trajectoire de la droite OB pour que soit variable OA et ainsi trouver les valeurs .

Image
je sais pas comment avoir ses coordonnées.

mathafou
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par mathafou » 19 Juin 2015, 21:59

Effectivement c'etait plus simple que ma méthode (thales/Pythagore) ou j'ai été obligé de résoudre une equation de degrés 4

la méthode avec Thalès et Pythagore revient exactement au même que les calculs de Ben314,
c'est ensuite que ça change :
choisir x+y = K comme inconnue au lieu de y
(d'ailleurs je ne suis pas sûr que ton équation du 4ème degré soit juste)
en fait la méthode de Ben314 a ramené la résolution de cette équation du 4ème degré en enchainant deux équations du second degré.

Mais si la caisse mesurait 1m sur 2, l'équation du 4ème degré incontournable serait irréductible (ne se ramènerait pas ainsi à deux équations du second degré)

dans le cas général si on a la largeur de la caisse = et sa hauteur = , les équations sont, en posant x = OB et y = OA :

(équation de droite ou Thales c'est pareil) y/x = (y-b)/a c'est à dire ax + by = xy
Pythagore : x² + y² = L²
mais pas moyen d'injecter (x+y) à la place de xy la dedans vu que c'est ax + by
en fait on garde x = ay/(y-b) et on substitue ce qui donne
(ay/(y-b))² + y² = L² qui se "simplifie" en
selon les valeurs de ça se réduit ou pas
ainsi avec par exemple a=1, b=2 et L=5 : on peut démonter que cette équation n'a pas de racine "constructibles" c'est à dire pas de racines obtenue par quelque enchainement d'équations du second degré seulement que ce soit.
la résolution d'une équation du 3ème degré "résolvante" irréductible est incontournable.
et par conséquent la seule valeur pratiquement utilisable est une approximation numérique (l'expression exacte étant affreuse avec des racines cubiques de nombres complexes, il suffit d'entrer cette équation dans un solveur symbolique comme wolframalpha et de demander les "formes exacte")

il est très loin d'être évident de savoir si oui ou non l'équation du 4ème degré se décompose, selon les valeurs de a,b,L.
c'est du cas particulier au coup par coup.
comme le montre la méthode de Ben314 dans le cas particulier où a = b = 1, dans ce cas particulier (a= b) cela se réduit.
montrer effectivement que ça ne se réduit pas si a=2, b=1 et L=5 est "un peu hors de portée ici" (décomposition dans Q[X], théories de Galois etc)
en tout cas il suffit de cet exemple pour prouver que "dans le cas général" (= avec a,b,L en symbolique) ça ne se réduit pas à des équations du second degré.

danyL
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par danyL » 19 Juin 2015, 22:26

zvap a écrit: une equation de degrés 4 ( y^4+2y^3+(2-L²)+2y+1=0 )

mathafou a écrit:(d'ailleurs je ne suis pas sûr que ton équation du 4ème degré soit juste)

je trouve la meme équation que zvap, il a juste oublié le y²

triangle OAB
OA = 1 + lgB
OB = 1 + lgA

avec les surfaces :
aire(OAB) = OA * OB / 2 = (1+lgA)(1+lgB)/2
et aire (OAB) = carré + petit triangle en A + petit triangle en B = 1² + 1*lgA/2 + 1*lgB/2
en développant l'égalité on obtient
lgA * lgB = 1

en remplaçant lgB par 1/lgA dans Pythagore
L² = (1 + lgA)² + (1 + lgB)²
on obtient bien l'équation de zvap

mathafou
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par mathafou » 19 Juin 2015, 22:39

danyL a écrit:triangle OAB
OA = 1 + lgB
OB = 1 + lgA
encore faut il définir ses inconnues .. c'est quoi lgB, ImmunoGlobuline B ?
danyL a écrit:on obtient bien l'équation de zvap
tout dépend de ce qu'on appelle "y"

pour moi la position de A c'est sa hauteur y par rapport au sol = OA
c'est ça que j'appelle y
évidement si mon y est le y de danyl et zvap plus 1 "1+lgB", l'équation est différente, c'est sûr ...
c'est bien pour ça que je n'ai pas dit que l'équation de zvap était fausse mais qu'il y avait un doute, en l'absence de définition précise des inconnues utilisées.

danyL
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par danyL » 19 Juin 2015, 22:56

O : le point en bas à gauche du carré, ou du grand triangle si tu préfères
la longueur OA est égale à 1 (le côté du carré) plus une longueur que j'ai appelée lgA
de même pour OB
j'obtiens l'équation de zvap avec lgA comme inconnue

sinon on prend un compas ;)
(edit : je supprime la suite c'était faux)

mathafou
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par mathafou » 19 Juin 2015, 23:59

danyL a écrit:O : le point en bas à gauche du carré, ou du grand triangle si tu préfères
la longueur OA est égale à 1 (le côté du carré) plus une longueur que j'ai appelée lgA
de même pour OB
j'obtiens l'équation de zvap avec lgA comme inconnue
c'est bien ce que j'ai cru deviner en voyant tes "1+lgA"
aussi bien Ben314 que moi avons choisi comme inconnue OA lui-même (que moi j'ai appelé y et que Ben314 a appelé "a" parce que "y" était déja pris pour écrire ses équations de droites)

avec tes inconnues (appelées plus traditionnellement lgA = y et lgB = x
on a x.y = 1 (facile, comme tu le fais avec des aires ou encore plus rapide avec les petits triangles semblables donc x/1 = 1/y)
et (1+x)² + (1+y)² = L²

substituer x ou y dans cette équation donne une équation du 4ème degré ce qui est donc "affreux à résoudre"

mais ...
si on développe avant de substituer
1 + 2x + x² + 1 + 2y + y² = L² et qu'on regroupe "astucieusement" :
(x² + y²) + 2(x+y) + 2 = L²
et l'astuce est d'écrire x² + y² = (x+y)² - 2xy
cela donne donc
(x+y)² - 2xy + 2(x+y) + 2 = L² et comme xy = 1 on obtient l'équation en l'inconnue S = x+y :

S² +2S = L² que l'on résout en l'inconnue S

et ensuite x et y dont la somme est S connu et le produit est P = xy = 1 sont solutions d'une équation T² - S.T + P = 0 c'est à dire T² - S.T + 1 = 0
et c'est fini

(méthode identique à celle de Ben314, mais avec vos inconnues au lieu des siennes)

en fait cette méthode c'est : lorsque on a deux inconnues x et y qui jouent un role totalement symétrique, il est plus astucieux de changer d'inconnues et de choisir comme inconnues leur somme S et leur produit P
parce que toute fonction symétrique de x et y peut toujours s'écrire en fonction de S et P, c'est donc pareil
mais souvent cet aspect symétrique du problème amène une "réduction" de la complexité, justement à cause de la symétrie.

et une fois qu'on a S et P, x et y sont les deux solutions de l'équation X² - SX + P = 0

à cause de cette équation "supplémentaire" de degré 2, l'équation principale en S et P a donc diminué de deux degrés

on est ici passé d'une équation de degré 4 en x ou en y à une équation de degré 2 en S

une autre façon de résoudre l'équation
(en appelant K= 2 - L²)
est de remarquer que ses coefficients sont symétriques :
le coefficient de est le même que le terme constant
le coefficient de est le même que celui de Y
le terme en y² est "tout seul" (symétrique de lui-même)

pour de telles équations symétriques, si y est solution, alors 1/y aussi
(on aurait eu la même équation en x avec x = 1/y)
on peut donc la diviser par y² (après s'être assuré que 0 n'est pas solution ce qui est évident) et en réarrangeant les termes :

(y² + 1/y²) + 2(y + 1/y) + K = 0

on pose alors Z = y + 1/y et on obtient une équation du second degré en Z :
(y² + 1/y²) = (y + 1/y)² - 2 = Z² - 2
Z² -2 + 2Z + K = 0 c'est à dire Z² + 2Z - L² = 0 (ça ne te rappelle rien ?)
puis on résout l'équation du second degré en y : y + 1/y = Z

PS edit : j'allais oublier ou pas vu :
sinon on prend un compas ;)
on trace un cercle de centre (1;1) et de diamètre L
A sera l'intersection du cercle avec l'axe vertical

c'est malheureusement complètement faux sauf si L est comme par hasard =

une construction à la règle et au compas est possible (enchainement d'équations du second degré seulement) , mais c'est tout de même plus compliqué que ça !!
figure à suivre.

mathafou
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par mathafou » 20 Juin 2015, 01:16

mathafou a écrit:figure à suivre.
comme promis, une construction possible
cette construction est basée sur les calculs algébriques précédents (ceux de Ben314 ou les miens)
donnée = la longueur de l'échelle L "matérialisée" par OL = L

Image

le cercle de centre K passant par L "résout" l'équation S² - 2S = L²
les solutions sont OC et OD, OC étant donc la somme des deux valeurs cherchées OC = x + y = OA + OB
la solution OD < 0 ne conviendra pas

il reste donc à résoudre maintenant l'équation X² - SX + S = 0
on reporte OE = OC
les médiatrices de OC et de HE se coupent en J
le cercle de centre J et passant par H (et par E) coupe l'axe des ordonnées en les points A et A' cherchés solutions de cette équation
OA' est "l'autre solution" c'est à dire la mesure de OB

danyL
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par danyL » 20 Juin 2015, 09:54

oui je m'en étais aperçu après que c'était faux, j'ai édité mon post
toutes ces explications sont bien intéressantes
en regardant la figure toute simple du défi on n'imagine pas que la résolution soit aussi complexe

godzylla
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par godzylla » 20 Juin 2015, 13:42

il faudrait trouver l'équation permettant de trouver la valeur de ob sur Y lorsque la question concerne simplement un baton en translation sur un mur guidé par un "carré" .

si c'est une parabole il existe peut etre qu'une seule solution pour une seule taille d'échelle.
il faut trouver sur ob sur y, la solutions sur unique pour 0. quand le sommet inférieur de la parabole est 0

sinon mathafou , il faut se mefier que l'echelle ne touche pas forcement le carre, donc les axes x et y ne sont pas forcement gradué en nombre entier.

exemple : par rapport a z ,sur y peut etre que l'axe viens vers nous et sur x l'axe va plus loin . et bien il y a plus de continuité dans l'axe x et y que dans l'echelle et le carre

zvap
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par zvap » 20 Juin 2015, 14:50

mathafou a écrit:une autre façon de résoudre l'équation
(en appelant K= 2 - L²)
est de remarquer que ses coefficients sont symétriques :
le coefficient de est le même que le terme constant
le coefficient de est le même que celui de Y
le terme en y² est "tout seul" (symétrique de lui-même)

pour de telles équations symétriques, si y est solution, alors 1/y aussi
(on aurait eu la même équation en x avec x = 1/y)
on peut donc la diviser par y² (après s'être assuré que 0 n'est pas solution ce qui est évident) et en réarrangeant les termes :

(y² + 1/y²) + 2(y + 1/y) + K = 0

on pose alors Z = y + 1/y et on obtient une équation du second degré en Z :
(y² + 1/y²) = (y + 1/y)² - 2 = Z² - 2
Z² -2 + 2Z + K = 0 c'est à dire Z² + 2Z - L² = 0 (ça ne te rappelle rien ?)
puis on résout l'équation du second degré en y : y + 1/y = Z

.


Oui c'est la méthode pour laquelle j'avais optée

mathafou
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par mathafou » 20 Juin 2015, 15:29

godzylla a écrit:sinon mathafou , il faut se mefier que l'echelle ne touche pas forcement le carre, donc les axes x et y ne sont pas forcement gradué en nombre entier

si l'échelle ne touche pas le coin du carré le problème n'offre rigoureusement aucun intérêt car la position de l'échelle est alors indéterminée
vocabulaire du contexte de ce problème : on appuie une échelle [AB] de longueur donnée L sur un mur, et au sol, et une caisse (le carré),
la hauteur maximale atteinte par le haut A de l'échelle est forcément quand elle touche la caisse !

si on retire la caisse (le carré), l'échelle enveloppe une astroïde : mathcurve

et que viennent faire les nombres entiers là dedans ???
aucun rapport, le seul "nombre entier" qu'il y a est le côté du carré qui est défini comme unité de mesure (donc "par définition" vaut 1)
tout le reste, longueur L de l'échelle, positions de A et de B sont des nombres à priori dans R et c'est tout
aussi bien une échelle de longueur pourquoi pas, ça n'a rigoureusement aucune espèce d'importance à partir du moment où la longueur L est donnée
pas besoin de chercher à construire la longueur de l'échelle, cette longueur est donnée, ici il s'agit de trouver les positions de A et B, lorsque l'échelle touche le coin du carré en mon point P et les deux murs en A et B et rien d'autre
aucune autre positon de l'échelle n'a aucune espèce d'importance dans le problème.

enfin si on "libère" le bas de l'échelle (point B) de sa contrainte d'être au sol et qu'on fait varier A le long du mur vertical, l'échelle s'appuyant toujours sur le coin P de la caisse, la courbe décrite par le pied B n'a rien d'une parabole !

Image

c'est un arc de courbe cissoïdale (la courbe pointillée rouge)
plus précisément l'arc si l'échelle est "suffisamment verticale" et l'arc si elle est "plus à plat"

l'arc n'est pas parcouru du tout car alors l'échelle rentrerait sous le sol.
entre et en fait l'échelle ne touche plus P, et enveloppe comme déja dit un arc d'astroide
au dela de P et au dela de , c'est la droite (AB) et pas le segment [AB] de longueur L qui touche P.
(prolongement de la droite de l'échelle), voire A qui est dans la caisse ou sous le sol

godzylla
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par godzylla » 20 Juin 2015, 17:56

dans la question il est question d'une échelle mais dans la réponse , ce serrais la capacité que nous avons de certifier qu'il existe bien une relation entre les nombres et les solutions possibles de façon a résumer cela avec une relation générique de cause a effet.

courbe cissoïdale je suis d'accord même si c'est qu'une des solutions et c'est dans le cas ou l'echelle tiens dans le vide pour garder l'idée de tenir dans le carré. je me demandais si c'etais pas une fonction du style cosinus utilisant des x³


pour l'astroide j'y ai réfléchit un peut et ce n'est pas forcement le milieu de l'échelle qui va définir la position du carre. ça m'aide a compter les dimension et dire qu'on est sur R;) au minimum.

mathafou
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par mathafou » 20 Juin 2015, 19:11

godzylla a écrit:ce serrais la capacité que nous avons de certifier qu'il existe bien une relation entre les nombres et les solutions possibles de façon a résumer cela avec une relation générique de cause a effet.
que répondre à un tel fatras .. rien !

godzylla a écrit:pour l'astroide j'y ai réfléchit un peut et ce n'est pas forcement le milieu de l'échelle qui va définir la position du carre

le carré est défini à priori, pas en fonction de l'échelle, il n'y a aucun carré dans l'étude de l'enveloppe "libre" (sans caisse) et le point de contact avec l'enveloppe n'est pas au milieu du tout

Image

quand l'échelle de longueur L = OL glisse avec son pied B au sol et son point haut A sur le mur, elle enveloppe l'astroïde en rouge (reste en permanence tangente à cette courbe)
tous les points à l'intérieur de l'astroïde sont donc "accessibles" lors de ce déplacement :
il existe une position de l'échelle qui touche ce point, et même deux positions symétriques par rapport à la 1ere diagonale (y = x), sauf si le point est sur l'astroïde elle même

Pour chaque position de l'échelle, le point de contact T avec l'astroïde est construit ainsi :
compléter le rectangle OBMA par le point M
le point de contact est la projection de M sur AB

godzylla a écrit:ça m'aide a compter les dimension et dire qu'on est sur R;) au minimum.
même remarque que la première.

godzylla
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par godzylla » 21 Juin 2015, 01:30

ça n'a rien d'un fatra.
R;) et R³ puis R ne sont que des representation de l'esprit. vous n'avez aucun espoir d'obtenir de la rationalité sur R en critiquant l'irationalité de R³.

tu critiques ma phrase pour dessiner les dérivés successive possible d'une "astroide", c'est trop pour moi.
il me faut une dérivé relative au plan et peut être qu'a l'époque de la découverte de la dérivé est ne ce besoin des duels à mort. pour dire que pour parler de derivée, il faut savoir citer ses sources et renoncer aux maths sans s'estimer etre physique.

apres il y a un problème de voir en université des prof de maths enseigner l'informatique a la place d'étudiant de bac technologique et un pbm de choisir des etudiant de licence au lieu des iut bts. ça n'a rien d'un fatra, c'est un cahier des charges possible dont tu te refuse l'entendement par manque d'etude des diverse possibilité d'equation qu'offre le monde. une equation vectorielle ou celles des champs magnetique sont definit sur toute definit sur R.

et mathafou je ne voullais pas te déranger , j'ai 600 photos réalisé en 10 ans avec numberphile ou le cnrs . donc si tu veut de vrai questions ou une thèse solide correspondant exactement au progres et a un buzz possible pour mediatiser les juristes?

ensuite c'est peut etre une equation differentiel, j('ai suivis le mooc mais c'est plutôt une question sur une equation faisant intervenir un plan avec sa derivé pour trouver une solution mathematique isolable.

la meilleur question consiste a se demander si il faut a x et y d'etre divergent. c'est a dire que le premier doit s'eloigner de nou et l'autre vevir vers nous de sorte que zero n'est pas un nombre mais une sorte d'inverse des limite en zero d'axe qui ne se croisent jamais pour former un systeme.

R peut tres bien devenir un cercle, un parallélogramme, un polygone une surface courbe ou encore l'addition multiplication de celle ci redressé pour etre dans un carré.

en math, je suis obligé d'utiliser y=1/ax³+ax²+a ou une de ces variante pour l'astroide.

mathafou
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par mathafou » 23 Juin 2015, 00:54

godzylla a écrit:je suis obligé d'utiliser y=1/ax³+ax²+a ou une de ces variante pour l'astroide.

l'astroïde étant symétrique par rapport à la droite y = x, échange de x et y,
l'échange de x et de y dans une équation de l'astroïde donne la même équation exactement

sinon, c'est que cette équation est simplement fausse, n'a aucun rapport avec l'astroïde ...

(je ne parlerais que de maths, pas de pataphilosophie)

godzylla
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par godzylla » 23 Juin 2015, 13:12

mathafou a écrit:l'astroïde étant symétrique par rapport à la droite y = x, échange de x et y,
l'échange de x et de y dans une équation de l'astroïde donne la même équation exactement

sinon, c'est que cette équation est simplement fausse, n'a aucun rapport avec l'astroïde ...

(je ne parlerais que de maths, pas de pataphilosophie)


avec les lycéens et prepa , il suffit de jouer à qui a le poisson d'avril dans le dos. c'est celui qui le remarque qui aurais perdu. il appelle cela l'analyse, des etapes en plus pour la comprehension d'une methode.

apres la prepa math sup ne pourrai servir qu'a faire iup ? qu'es ce que tu en pense? de toute facon en prepa ils ne peuvent pas apprendre les theories de scientifiques contemporains comme le font les eleves en maitrise ou ailleur.


une image du truc en 4d : Image


sinon il y a peut etree avec la technique utilisé par rogue : https://www.youtube.com/watch?v=3d5RRdER-Oc avec vous il faudrai je sais pas quoi pour formaliser le code

 

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