Un peu de géométrie dans l'espace

[Doraki]

Etant donné 4 droites dans l'espace, combien peut-il y avoir de droites qui intersectent les 4 droites ?

[Razes]

Etant donné 4 droites dans l'espace, combien peut-il y avoir de droites qui intersectent les 4 droites ?

Les 4 à la fois?

[Doraki]

Oui, les 4 à la fois.

[siger]

Bonjour,

toutes les droite s'appuyant (coupant) sur deux droites D1 et D2 dans l'espace forment une surface reglée S a une nappe.
la droite d joignant les points A et B d'intersection de cette surface avec D3 et D4 "coupe" ces dernieres et fait partie de la surface S
il y a une seule droite joignant A et B et donc une seule droite repondant a la question dans le cas general

[Doraki]

toutes les droite s'appuyant (coupant) sur deux droites D1 et D2 dans l'espace forment une surface

Euh tu es sûr ?

[Robot]

Si les quatre droites sont en position générale, il y a ou bien 2, ou bien 0 droites qui les rencontrent.

[siger]

re

je pense que oui!

cependant , pour etre complet, je dois ajouter que cela ne semble vrai que pour deux droites
en effet dans "Mathcurve": surfaces/surfaces reglees il est indiqué qu'une telle surface n'existe pas toujours dans le cas de deux courbes mais existe pour trois courbes

"Par trois courbes passe en général une unique surface réglée, réunion des droites rencontrant ces trois courbes. La famille des droites s'appuyant sur deux courbes données n'engendre en général pas une surface ; mais c'est le cas si l'on rajoute une condition supplémentaire, comme :" les droites doivent rencontrer une troisième courbe donnée (donc famille des droites s'appuyant sur 3 courbes)"

si on applique ce raisonnement ici la surface S n'a qu'un point d'intersection avec D4, et par suite il existe au moins une droite de S passant par ce point (et une seule compte tenu de la condition introduite par la troisieme droite dans la defintion de S)

Je continue a chercher ...........

[zygomatique]

salut

si les quatre droites sont coplanaires alors il existe une infinité de droites coupant ces quatre droites : il suffit de prendre une droite de direction non parallèle à celles des quatre droites ...

deux droites a et b sécantes ou parallèles (strictement) définissent un plan P
si une droite D coupe ces deux droites alors elle est incluse dans ce plan

si les deux autres droites e et d sont aussi coplanaires et définissent le plan Q alors pour que D coupe ces deux droites elle doit appartenir à ce plan Q

donc D est l'intersection des plans P et Q ... si elle existe ...


to be continued ....

[Robot]

si une droite D coupe ces deux droites alors elle est incluse dans ce plan

Non, pas si elle passe par le point d'intersection des deux droites.

[Robot]

je pense que oui!

Et tu as tort. La famille des droites rencontrant deux droites données est une famille à deux paramètres de droites (clair : un paramètre pour le point sur la première droite, un autre pour le point sur la deuxième droite.

Les droites d'une surface réglée forment une famille à un paramètre de droites.

Essaie de te représenter les segments de l'espace dont une extrémité est sur et l'autre sur Tu verras que leur réunion est un volume (un berlingot plein), et pas un bout de surface.

[Abuche]

Dans le cas général, aucune droite coupe 4 droites dans l'espace.
D1,D2 forment un plan P1
D3,D4 forment un plan P2
Un droite D sécante dans P1 ne le sera pas dans P2
D existe si P1=P2 et lorsque les D1..D4 appartiennent à un unique plan P1( ou P2)

[beagle]

Dans le cas général, aucune droite coupe 4 droites dans l'espace.
D1,D2 forment un plan P1
D3,D4 forment un plan P2
Un droite D sécante dans P1 ne le sera pas dans P2
D existe si P1=P2 et lorsque les D1..D4 appartiennent à un unique plan P1( ou P2)

il ya beaucoup de cas particuliers, mais comme le dit Robot si les droites coplanaires ne sont pas //, elles sont sécantes.Reste alors plus qu'à réunir les 2 points d'intersections des deux plans, non?

[Doraki]

Dans le cas général, aucune droite coupe 4 droites dans l'espace.
D1,D2 forment un plan P1

Tu peux préciser quel est le plan formé par les droites D1 : y=z=0 et D2 : x=0 et z=1 ?

[beagle]

euh je croyais que:
D1,D2 forment un plan P1
D3,D4 forment un plan P2
je croyais que abuche traitait le cas particulier de deux droites coplanaires et deux autres également coplanaire dans un autre plan.

[Robot]

J'ai déjà donné la réponse plus haut, mais j'attends pour donner l'explication.
Un autre problème qui est tout à fait lié au problème de Doraki (même si la liaison n'apparaît pas évidente) :
On est dans . On veut une famille de plans vectoriels dans telle que pour tout plan vectoriel de , il existe tel que . Question : quel est le minimum des r pour lesquels on puisse trouver une telle famille ?
Même question en replaçant par .

[beagle]

Salut Robot, tu dis avoir donné la réponse.
Donc celle-ci?:
"Si les quatre droites sont en position générale, il y a ou bien 2, ou bien 0 droites qui les rencontrent."

je trouve bizarre que ni Doraki ni toi ne disiez plus précisément quelles situations sont recherchées.
faut-il deviner que le cas général dont tu parles est le cas où les droites ne sont pas coplanaires?

[Robot]

Droites non coplanaires 2 à 2 ne suffit pas : il y a des systèmes de 4 droites non coplanaires 2 à 2 tels qu'il y a une infinité de droites qui les rencontrent toutes les quatre.

En position générale, ça veut dire de façon informelle et pas très exacte que si on tire 4 droites au hasard dans l'espace, alors avec probabilité 1 il y aura 0 ou 2 droites qui les rencontrent toutes les quatre.
Techniquement : les droites de l'espace forment une variété de dimension 4, les quadruplets de droites une variété de dimension 16. Il existe dans cette variété un sous-ensemble algébrique de dimension strictement plus petite tel que, pour tout quadruplet en dehors de ce sous-ensemble, il y a 0 ou 2 droites qui rencontrent les quatre.

[Doraki]

je trouve bizarre que ni Doraki ni toi ne disiez plus précisément quelles situations sont recherchées.
faut-il deviner que le cas général dont tu parles est le cas où les droites ne sont pas coplanaires?

Ben je demande pour toutes les situations possibles.
Le cas où toutes les droites sont coplanaires est extrêmement particulier (et dans ce cas là il y a une infinité de droites qui les coupent toutes)
Le cas où t'as deux paires de droites sécantes est lui aussi trop particulier.

Plusieurs situations donnent plusieurs cas de figures, et le truc intéressant est de montrer que en position générale et en travaillant dans l'espace projectif complexe, il y en aura deux. La manière dont j'ai tournée la question est beaucoup plus "accessible" (vu que je parle seulement de droites dans l'espace, il n'y a donc aucun pré-requis pour comprendre la question) fait que la réponse ce n'est pas 2, mais 0 ou 1 ou 2 ou une infinité, mais cette limite de 2 se retrouve quand même.

[beagle]

OK, merci,
c'est intéressant.

[Robot]

Bon, il est peut-être temps de donner un argument mathématique.
Le point clé est que les droites qui rencontrent trois droites non coplanaires deux à deux engendrent une quadrique réglée. La quatrième droite (en position générale) rencontre la quadrique en deux points ou en aucun point (dans le cas complexe, toujours en deux points) : en effet, chercher les points d'intersection revient à résoudre une équation de degré 2. Les deux points d'intersection (quand il y en a) donnent les deux droites du réglage de la quadrique qui rencontrent et .
Reste à justifier l'assertion soulignée. Pour commodité on se place dans l'espace projectif de dimension 3 et on travaille donc avec quatre coordonnées homogènes.
Donnons nous les par deux équations de plans . Soit un point de l'espace qui n'est pas sur . Le plan contenant et a pour équation . Une condition nécessaire et suffisante pour que appartienne à une droite rencontrant , et est que le système de quatre équations linéaires ait une solution non triviale, autrement dit que le déterminant de ce système soit nul. Or le déterminant de ce système est une forme quadratique en les coordonnées de .