Fonction continue sur les rationnels

[Tuvasbien]

Bonjour, petit exo pour la route, existe-t-il une fonction continue sur et discontinue sur ?

[GaBuZoMeu]

Non, l'ensemble des points de continuité d'une fonction est toujours un et n'est pas un ( intersection dénombrable d'ouverts).

[GaBuZoMeu]

Montrons que l'ensemble des points de continuité d'une fonction est toujours une intersection dénombrable d'ouverts.
Soit . Pour , on pose



(où les sup et inf sont pris dans la droite numérique achevée). Alors est ouvert pour tout , et l'ensemble des points de continuité de est l'intersection des pour entier .

Supposons que soit l'ensemble des points de continuité d'une fonction. D'après ce qui précède, devrait être une intersection dénombrable d'ouverts, et ces ouverts seraient tous denses puisqu'ils contiennent . Par ailleurs est une intersection d'ouverts denses (tous les pour ). Donc on devrait avoir intersection dénombrable d'ouverts denses. Monsieur Baire se retourne dans sa tombe !

[C'est en général assez désopilant de regarder le forum Dlz9, par exemple ici. Le petit clown qui écrit dans ce message devrait apprendre à lire et à ne pas faire des citations fausses.
PS. Notre petit clown persiste. Il est victime d'hallucinations, il voit des "dense" qui n'y sont pas. Il est coutumier du fait, lire de travers est une habitude chez lui.
Ce qui est aussi une habitude chez lui, c'est d'être incapable de comprendre une démonstration, comme celle ci-dessus (d'ailleurs très classique, on peut en retrouver les éléments dans les pages wikipedia)]

[Skullkid]

Merci pour la démo du fait que l'ensemble des points de continuité est un , curieusement ça fait partie de ces propriétés que je connais mais que j'ai toujours un mal fou à redémontrer. Je saurai où regarder la prochaine fois que j'oublie !

[GaBuZoMeu]

Le petit clown insiste. Puisqu'il ne comprend pas la démonstration, il fait maintenant semblant de croire que l'énigme posée par Tuvasbien est "existe-t-il une fonction dont la restriction à est continue et la restriction à est discontinue ". Ce n'est bien sûr pas du tout ce que Tuvasbien demande, et il suffit de voir ce qu'il écrit d'habitude pour comprendre qu'il ne poserait une question aussi bêbête.

[Tuvasbien]

Je confirme que la réponse est non et que GaBuZoMeu a bien compris la question contrairement à Dattier (désolé il ne pouvait y avoir qu'une seule bonne réponse sur ce coup-là). Pour ma part j'ai également utilisé le lemme de Baire et mon argument est identique au sien : si une telle fonction existait alors serait une réunion dénombrable de fermés et par suite également (), le lemme de Baire assurerait alors que ou ne serait pas d'intérieur vide ce qui n'est pas.

[Tuvasbien]

Notons aussi que le contre-exemple avec n'en est pas un, le fait que soit constante sur ne montre pas qu'elle y est continue pour autant, le contre-exemple mentionné plus haut : en est la preuve même, est constante sur mais est continue nulle part ! Conclusion la fonction n'est continue nulle part et n'est pas un contre exemple, on peut le montrer de la même façon que pour en utilisant la densité de dans .

[Skullkid]

Ça me rappelle le fameux (?) "une fonction est toujours constante en un point donc sa dérivée y est forcément nulle".

Sinon, plus sérieusement, je trouve un peu dommage de réagir ici aux messages trollesques/ad hominem postés ailleurs. Autant j'admire le soin dont GaBuZoMeu arrive à faire preuve dans ses réponses à toutes les attaques contre lui, autant je ne suis pas bien sûr que l'effet global soit positif. J'ai l'impression qu'au final ça donne de l'attention à des choses qui ne le méritent pas, et que ça ramène ici des toxines dont il n'a déjà pas été très aisé de se débarrasser...

Enfin ce n'est que mon avis. Bon courage cela dit !

[Yezu]

Je suis d'accord avec toi Skullkid.

GaBuZoMeu tu sembles avoir un très bon niveau sur le forum et tu es toujours disponible pour aider tout le monde, pourquoi as-tu sans cesse besoin de revenir sur les propos d'autres individus bannis de ce forum qui semblent toujours avoir quelque chose à dire sur tes propos ? Je te conseille de ne même plus lire et de focus sur l'aide, déjà très remarquable, que tu apportes sur le forum (:

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Si un petit clown lançait un fil "les bourdes de Skullkid/Yezu" en faisant la preuve qu'il lit de travers ce que vous avez écrit et qu'il ne comprend pas les arguments donnés, refuseriez-vous de vous payer sa tête ?
Si les zozos du forum Dlz9 m'en veulent à ce point, c'est parce que ça fait longtemps que je dégonfle leurs baudruches, sur les forums qu'ils fréquentaient avant de se faire exclure. On peut faire une différence entre les deux, les interventions de Dattier avaient quelquefois un contenu mathématique pas inintéressant, mais qui demandait à être retravaillé. Mais ces derniers temps, ça s'est nettement gâté.
Maintenant, j'accorde peut-être trop d'attention au forum de Dlzlogic. Son contenu fait qu'il n'en mérite aucune, je suis d'accord. N'en parlons plus.

[Lostounet]

, et que ça ramène ici des toxines dont il n'a déjà pas été très aisé de se débarrasser...

Pas du tout aisé je confirme !