Image inverse des rationnels

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Imod
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Image inverse des rationnels

par Imod » 06 Juil 2009, 09:48

Bonjour :we:

Soit un polynôme à coefficients rationnels .

Il est clair que . Quelle condition faut-il imposer à pour que ?

Bon courage :zen:

Imod



yos
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par yos » 08 Juil 2009, 19:53

degré de P < 2

Imod
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par Imod » 08 Juil 2009, 20:10

Il y a de l'idée mais il me semble qu'il y a un problème avec l'image réciproque d'un polynôme constant à valeur rationnelle :zen:

Imod

Imod
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par Imod » 18 Juil 2009, 00:31

Peu de réponse à part l'intervention minimaliste de yos :cry:

Je propose le lemme suivant :

Pour tout polynôme unitaire à coefficients dans et de degré supérieur à 1 , il existe un irrationnel tel que .

Bon courage :we:

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leon1789
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par leon1789 » 18 Juil 2009, 16:08

Imod a écrit:Pour tout polynôme unitaire à coefficients dans et de degré supérieur à 1 , il existe un irrationnel tel que .

Ok, pas trop difficile avec un coup de TVI (...et aussi Z intégralement clos).

Imod
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par Imod » 19 Juil 2009, 01:46

leon1789 a écrit:Ok, pas trop difficile avec un coup de TVI

D'accord :++:

leon1789 a écrit:...et aussi Z intégralement clos

Oupss... mes souvenirs d'algèbre datent un peu mais Z intégralement clos je n'y crois pas trop :triste:

PS : après vérification , c'est bon , je confondais avec algébriquement clos :briques:

Imod

ffpower
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par ffpower » 19 Juil 2009, 02:00

Doit falloir plutot utiliser que l ensemble des rationnels envoyés sur un entier ont un dénominateur majoré(par le coeff dominant)

skilveg
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par skilveg » 19 Juil 2009, 09:29

Allez, je me lance.

Preuve du lemme: on prend de degré >1, unitaire et à coefficients dans . Pour assez grand, on a ; par ailleurs, il existe des valeurs arbitrairement grandes s'envoyant sur un entier; prenons-en une, disons . Alors , et par les valeurs intermédiaires il existe tel que . Mais comme n'est pas entier, par un résultat classique (équivalent au fait que est intégralement clos), est irrationnel.

Preuve du résultat: "si avec , alors il existe tel que . En particulier, si , alors ."

On note et on prend un ppcm des dénominateurs des coefficients de ; alors est à coefficients entiers et a un coefficient dominant entier . On pose , qui est encore à coefficients entiers, unitaire et de degré . Par le lemme, il existe tel que , donc , cqfd.

Imod
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par Imod » 19 Juil 2009, 12:00

Oui skilveg , il n'y a plus qu'à conclure :zen:

Imod

 

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