Couples rationnels

par **guigui51250** » 27 Aoû 2008, 18:44

L'équation

admet-elle des couples de nombres rationnnels comme solution?

(problème issue du magazine Tangente)

Good luck

par **leon1789** » 27 Aoû 2008, 18:50

ben... tu es sûr du problème ? parce que c'est généralement posé avec des réels

par **guigui51250** » 27 Aoû 2008, 18:53

non là c'est un couples de nombres rationnels

, c'est pas des réels

par **Zweig** » 27 Aoû 2008, 19:02

Le couple (0,0) est le seul couple vérifiant cette équation.

.

Or d'après l'inégalité arithmético-géométrique :

. On obtient alors une absurdité mathématique.

par **leon1789** » 27 Aoû 2008, 19:05

ok... mais la réponse est valable sur les réels aussi ;-)

par **Zweig** » 27 Aoû 2008, 19:06

On considère l'équation d'inconnue

et de paramètre

.

. Ainsi

avec égalité lorsque

. L'unique couple solution est alors

.

Ton exercice se généralise en fait sur

.

par **guigui51250** » 27 Aoû 2008, 19:12

Zweig a écrit:On considère l'équation d'inconnue et de paramètre .

. Ainsi avec égalité lorsque . L'unique couple solution est alors .

Ton exercice se généralise en fait sur .

ouè pas mal

et sur R sa donne quoi? même résultat?

par **Zweig** » 27 Aoû 2008, 19:13

Bah regarde ma solution : où j'ai utilisé le fait que

et

étaient des rationnels ? :we:

par **guigui51250** » 27 Aoû 2008, 19:17

Zweig a écrit:Bah regarde ma solution : où j'ai utilisé le fait que et étaient des rationnels ? :we:

ah bah oui quel c** j'avais pas réalisé lol pas un poil de rationnel dans ton énoncé :marteau: enfait sur Tangente il y a une autre méthode mais juste pour les rationnels c'est pour ça que j'étais focalisé sur les rationnels :marteau:

par **Zweig** » 27 Aoû 2008, 19:18

Tu peux scanner la page stp ?

par **leon1789** » 27 Aoû 2008, 19:18

:++:

guigui51250 a écrit:L'équation admet-elle des couples de nombres rationnnels comme solution?

(problème issue du magazine Tangente)

Good luck

Autre solution, sur Z, via modulo 2 :
si (x,y) solution alors x^2+xy+y^2=0, donc x=y=0 mod 2 et donc (x/2,y/2) solution.

Quels sont les entiers divisibles par 2 une infinité de fois : il y a que 0 ! Donc x=y=0.

Après sur Q : quitte à mettre au même dénominateur, on se ramène au cas des entiers. (-> équation homogène)

Mais c'est juste pour rire :ptdr:

par **skilveg** » 27 Aoû 2008, 19:45

Je propose une autre réponse:

Soit

un couple solution. En multipliant l'équation par

, on aboutit à

, d'où

puis

et finalement

...

par **Imod** » 27 Aoû 2008, 19:45

leon1789 a écrit:ben... tu es sûr du problème ? parce que c'est généralement posé avec des réels

J'adore ces exercices ou l'on aiguille malicieusement sur des pistes toutes balisées "équations diophantiennes" , peu efficaces ici , alors que la solution est évidente dans

:++:

Imod

par **Zweig** » 27 Aoû 2008, 19:48

J'ai aussi une autre solution :

, d'où

par **leon1789** » 27 Aoû 2008, 20:09

skilveg a écrit:Je propose une autre réponse:

Soit un couple solution. En multipliant l'équation par , on aboutit à , d'où puis et finalement ...

Zweig a écrit:J'ai aussi une autre solution :

, d'où

Tiens , j'ai une autre solution ... :ptdr:

Quand même, la mienne est bien plus compliquée ! :zen:

par **Zweig** » 27 Aoû 2008, 20:22

Oui bah, j'avais pas vu sa solution, je n'avais pas ré-actualisé cette page.

par **guigui51250** » 27 Aoû 2008, 20:31

Zweig a écrit:Tu peux scanner la page stp ?

ouè je te fais ça (si mon scanner veut bien marcher :marteau: )

EDIT : ouè bah non c'est mort j'arrive pas à le faire marcher :marteau: merde un scanner tout neuf :briques: je vais te poster la solution de Tangente

par **guigui51250** » 27 Aoû 2008, 20:45

En calculant l'une des variables par rapport à l'autre, on obtient

Le nombre

doit donc être le carré d'un rationnel et il existe des entiers p,q et a tels que

ou encore

Alors p et q doivents être multiple de 3 ce qui est contradictoire avec le fait qu'ils soient premiers entre eux donc pas de solutions apars

Mais perso ta solution était bien plus simple à comprendre et plus rapide :we:

par **leon1789** » 27 Aoû 2008, 21:07

Zweig a écrit:Oui bah, j'avais pas vu sa solution, je n'avais pas ré-actualisé cette page.

Je plaisantais (pour une fois !) :ptdr:

par **leon1789** » 27 Aoû 2008, 21:11

guigui51250 a écrit:Alors p et q doivents être multiple de 3 ce qui est contradictoire avec le fait qu'ils soient premiers entre eux

Je ne comprends pas comment tu sais que p et q sont étrangers. Pourquoi le sont-ils ?

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