Facile ?

[MMu]

Trouver les fonctions telles que

[capitaine nuggets]

Salut !

Les fonctions recherchées doivent-elles être continues ou cela n'est pas précisé volontairement ?

[zygomatique]

salut

bon le classique ...

f o f(0) = f(0) + 1

f o f(y) = f(y) + 1

fo f(x + f(y)) = f(x + f(y)) + 1 = f(x + y) + 2


donc f(x) = x + 1 ...

[capitaine nuggets]

Salut !

Ouais je suis d'accord, je trouve la même chose, mais comment montrer que c'est la seule solution ?
(Si c'est effectivement bien la seule).

[Ben314]

Pour le moment, j'ai pas la soluce, mais un début éventuel c'est :
- L'unique solution avec f injective est x->x+1 (facile)
- Si f n'est pas injective alors elle est périodique et si on note T la plus petite période, alors f est injective sur tout intervalle [a,a+T[ et, pour tout réel t, f(t)=t+f(0)+n(t)T où n(t) est un entier relatif (dépendant de t).
De plus n(f(t))=no ne dépend pas de t et en fait f(0)+no.T=1

Mais j'arrive pas à finir (et c'est pas forcément la bonne aproche...)

[MMu]

Warning : il y a des fonctions périodiques ( non-constantes) pour lesquelles il n'y a pas de "la plus petite période"

[Ben314]

Effectivement, sans aucune hypothèse de régularité, l'ensemble des périodes peut tout à fait être un sous groupe dense de R, comme c'est le cas pour l'indicatrice de Q.
Comme de toute façon j'ai pas la preuve de la fin, je sais pas si on peut se contenter d'UNE période sans prendre LA période, mais par contre, c'est tintin concernant l'injectivité sur les intervalles de longueur LA période donc c'est pas la peine de regarder dans cette voie là.

[capitaine nuggets]

Une tentative de résolution :

On a , pour tout donc en supposant dérivable, on a , quel que soit .

Si alors f est constante sur l'ensemble . Or doit vérifier l'équation fonctionnelle donc si est constante sur , on a , impossible.

Donc , quel que soit . On cherche donc de la forme . En utilisant l'équation fonctionnelle, on trouve bien .

[zygomatique]

f n'est évidemment pas constante ...

f o f(y) = f(y) + 1

f o f(x) = f(x) + 1

donc f o f (y) - f o f(x) = f(y) - f(x) <=> f(v) - f(u) = v - u

donc la fonction f o f est affine

[Ben314]

... en supposant dérivable...

En supposant uniquement f continue, tu obtient que l'ensemble des périodes ne peut plus être dense (dans le cas non injectif) dont il existe une plus petite période T et l'injectivité de f sur [a,a+T[ est contradictoire avec la continuité.

Le problème c'est que sans hypothèse de régularité, je vois pas trop comment faire.
Par exemple, une fonction du type t -> partie entière de t + Cst vérifie "presque" l'équation. . .

[Ben314]

Si je me suis pas gouré, sans aucune hypothèse de régularité... on est mal... :

Si on regarde comme un espace vectoriel et qu'on considère un supplémentaire de dans : (via l'axiome du choix pour justifier l'existence d'un tel ) alors la fonction (en fait, de ) définie pour tout réel par est solution du problème.
Elle est évidement discontinue en tout point et périodique avec un ensemble de périodes qui est égal au sous-groupe additif de (qui est bien entendu dense dans ).
Et évidement, non seulement on a le choix pour mais en plus c'est uniquement un exemple de solution "non régulière" vu qu'on peut faire la même construction en partant de , voire même peut-être directement en partant d'une base de Hamel de .

Après, on peut se poser la question de savoir quel est le "minimum de régularité" à demander à la fonction pour que l'unique solution soit t->t+1. Clairement, "continue sur R", c'est suffisant, mais est-ce que "continue en 0" ou bien "continue en au moins un point" est suffisant ?