Facile et simple ne sont pas confondus

[pascal16]

Aviateur, je part de 620 décimales en précision , c'est pour ça qu'on utilise des 'biginteger' qui sont en fait des chaines de caractères et dont l'addition ne se fait pas avec "+" mais une fonction spéciale "biginteger.add".

quand je calcule U², j'enlève d’ailleurs les 620 dernières décimales car elle ne servent à rien et ça permet de ne pas exploser les compteurs.

[zygomatique]

énoncé 40 : the inégalité +
A-t-on,

...

[aviateur]

@pascal 16 d'accord j'ai compris.

[Arbre]

@Zyg : Bravo.

[pascal16]

énoncé 7 : détente permutative
A-t-on pour toute permutation de l'existence de fonctions de tel que ?

Quelle est ta définition de, c'est de dans ou c'est Z/pZ ?
on pend g=f et h=1 ?

[pascal16]

37
en enlevant tous les termes entiers :
{(2+sqrt(5))^2^2017} = {}

sqrt(5) n'étant pas rationnel, il n'y a pas de série qui se répète, mais on a bcp de multiplication par des multiples de 10.

[PS] : je cherche un truc, une astuce, car on sait qu'on sait le faire en reprenant les calculs comme pour sin(2^2017), ça n'a pas d’intérêt s'il y a pas un truc qui simplifie les calculs

[Arbre]

@Pascal :
7 : bravo (Zp=Z/pZ le corps)
37 : je ne comprends pas ton argument, quelle est la troncature de la partie fractionnaire, et pourquoi ?

PS : il y a bien une astuce qui régle l'affaire rapidement.

[pascal16]

Ca ressemble aux fonction implicites type Capes.

soit x réel tel que sin(x)>=0
la suite Uo=x Un+1=sin(Un) est
-> positive
-> décroissante
-> minorée par 0
-> converge vers 0

donc, pour tout x tel sin(x)>=0, on a f(Un)=f(x)
par continuité de f en 0+, on a f(0)=f(x)
finalement, pour tout x tel sin(x)>=0, f(x)=f(0)

soit x réel tel que sin(x)<0
il semble qu'on puisse prendre ce qu'on veut sur cette partie pour constituer une fonction non constante correspondant aux critères fixés
On fait de même, en utilisant la continuité en 0-

[Arbre]

19 : Bravo, il n'y a pas de fonction non constante vérifiant cela.

[pascal16]

(Zp=Z/pZ le corps)

précisons : l'anneau, pas forcément intègre selon la valeur de p.

Pour la 19, la continuité en 0 suffit pour avoir une fonction constante

[Arbre]

Pour le 19, on ne veut justement pas de fonction constante.

[aviateur]

@ Peux-tu traduire en français intelligible?

[pascal16]

énoncé 38 : Catalan +1
Résoudre .

supposons qu'il existe 2 solutions différentes (a;b) et (a';b') avec a> a' donc b>b'

2+3^a=5^b
2+3^a'=5^b'
par soustraction
3^a-3^a'=5^b-5^b'
3^a'(3^(a-a')-1)=5^b'(5^(b-b')-1)
or 3^a' et 5^b' sont premiers entre eux donc
3^a' divise 5^(b-b')-1 et 5^b' divise 3^(a-a')-1

3^a' divise 5^(b-b')-1 est impossible car :
5^(b-b') est un nombre impair (qui fini par 5), 5^(b-b')-1 est pair (qui fini par 4).
3^a' est impair (ne fini jamais par 4)

Il existe au plus 1 solution, or (1;1) est solution, c'est la seule et unique solution.

Pas d'erreur ?

[pascal16]

enonce 18 : palindromes bien parenthéses
Combien y-a-t-il de palindromes bien parenthésés, contenant exactement 200 parenthèses ?
On détaillera la technique de comptage utiliser.

Soit le problème de chemin du Capes d'il y a 2 ans.
( ou +1 ou un pas vers le haut
) ou -1 ou un pas vers le bas.
on part de 0, on choisit au hasard +1 ou -1.
on note p(n) la valeur au bout de n pas
-> les palindromes sont les chemins de 100 pas (complétés par symétrie pour faire un palindrome) tel que p(n) soit toujours positif ou nul, pour toute valeur de n.

pourquoi ?
(1) se sont des palindromes
(2) on a jamais dans les 100 premiers termes plus de parenthèses fermantes qu'ouvrant qui rendraient la suite de parenthèses sans logique.
(3) On les a tous ? : pour moi oui, car on dénombre tous les chemins vérifiant (2).

( voir le corrigé pour le dénombrement)

[Arbre]

Bonjour,

3^a' divise 5^(b-b')-1 est impossible car :
5^(b-b') est un nombre impair (qui fini par 5), 5^(b-b')-1 est pair (qui fini par 4).
3^a' est impair (ne fini jamais par 4)

En fait tu es entrain de dire si , et impair.
Alors ne divise pas .

Prends et

Pour le 18, oui les 2 comptes la même quantité, mais comment tu comptes la première quantité, un lien vers la correction de ce sujet serait suffisant.

[pascal16]

Je trouvais que ça allait trop vite
ce que je démontre, c'est que 3^a' = 5^(b-b')-1 est impossible, mais ça ne suffit pas
En continuant un peu, on arrive à :
a est de la forme 4p+1
b est de la forme 2q+1
p et q entiers.

Pour le dénombrement, il a été abordé au Capes 2010 2ieme épreuve, il été fait avant sous le nom "problème du saut de puce", et aussi sur ce forum où on regardait justement les chemins positifs.

[pascal16]

enonce 18 : palindromes bien parenthéses
Combien y-a-t-il de palindromes bien parenthésés, contenant exactement 200 parenthèses ?
On détaillera la technique de comptage utiliser.

suite (piqué sur une réponse du Capes 2010 M2):
Se sont des chemins de Dyck (chemin tj positifs) avec n=100


c_100 est le nombre de Catalan associé à la valeur 100.

[Arbre]

Bonjour,

@Pascal : si tu as un lien alors la question est résolue, sinon toujours pas.

[pascal16]

http://www.maths-france.fr/Capes/

Tu as le lien vers l'énoncé et le corrigé dans la page car le corrigé sans l'énoncé est incompréhenssible.

[Arbre]

OK.