Facile et simple ne sont pas confondus

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Arbre

Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 04 Jan 2017, 09:28

Bonjour,

Le but de ce fil est de montrer que ce n'est pas parce que c'est simple (compréhensible du plus grand nombre) que c'est facile à trouver.

Ici des exemples de tels énoncés pour savoir de quoi il retourne :
http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 43,1198849

Donc pour cela je vais proposer des énoncés dont la solution fait moins d'une dizaine de ligne, en me basant sur le programme de l'agreg (maximum).

Pour la solution proposée par, me semble-t-il, Guy Casale :
Les détails sont ici, je précise que je ne savais pas que cette formule avait un nom particulier :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Legendre

Bonne journée.



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Ben314
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Ben314 » 04 Jan 2017, 15:36

Salut,
Ca commence mal, rien que l'énoncé 1 du lien, je comprend que dalle :
Pour tout j de {1..n}, vu que r(E)=E, on a r(Aj)=Ak pour un certain k.
Sauf que d(Ai,O)=i pour tout i de {1..n} (*) et en particulier k=d(Ak,O)=d(r(Aj),r(O))=d(Aj,O)=j vu que r est une isométrie.
Donc r(Aj)=Aj et comme le seul point fixe de r est O, c'est que Aj=O (pour tout j) ce qui est clairement contradictoire avec le d(O,Aj)=j...

(*) Là, le "pour tout i de {1..n}", je l'invente vu qu'il n'y a rien de précisé dans l'énoncé, mais je vois pas comment rendre l'énoncé cohérent autrement qu'en sous entendant ce "pour tout i".

Pour l'énoncé 2, est-ce que C([0,1]) c'est l'ensemble des applications continues de [0,1] dans [0,1] muni de la distance ? (Usuellement, pour un compact K, C(K), ça désigne l'espace de Banach des fonctions continues de K dans R (ou C) muni de la norme sup, mais là, ça peut clairement pas être ça vu que c'est pas contenu dans F([0,1])))
Si c'est bien ça C alors le résultat est NON pour une simple raison de cardinalité.
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Lostounet » 04 Jan 2017, 16:25

Arbre a écrit:Le but de ce fil est de montrer que ce n'est pas parce que c'est simple (compréhensible du plus grand nombre) que c'est facile à trouver.

Ici des exemples de tels énoncés pour savoir de quoi il retourne :
http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 43,1198849



Bonjour Un_homme,
Et faut-il venir sur un forum pour mettre le lien d'une discussion d'un autre forum?

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 04 Jan 2017, 20:35

Salut,

@Ben : effectivement l'énoncé 1 est bugguer.
L'énoncé 2 : est l'ensemble des fonctions continues de [0,1] dans lui même, l'ensemble des fonctions de [0,1] dans lui même.

Bravo, c'est bien un argument de cardinal, qui permet de conclure.

@Lostounet : oui, je vais reproduire ici les énoncés qui me semble le plus intéressant, en guise d'entrainement...

Entrainement 1 :
On pose dans . Calculer la dérivée 101e de en 2.
est la composée de n fois.

Entrainement 2 :
On pose dans. Calculer la dérivée 101 e de en 2.

Entrainement 3 :
Soit fonction de dans lui même, de norme , continue tel que :
pour tout de on suppose :
Prouver que a un point fixe.

Entrainement 4 :
Existe-t-il de [0,1] dans lui même tel que :
pour tout dans [0,1] ?

Entrainement 5 :
Calculer à la main, pour tout , .
On rappelle que est premier.

Entrainement 6 :
Calculer .

Entrainement 7 + :
Montrer que pour tout , si alors .

Entrainement 8 :
Soit de degré tel qu'il existe valeurs entières pour lesquelles vaut un nombre premier, peut-on dire qu'alors est irréductible sur ?

Entrainement 9 :
trouver l'expression générale de en fonction de ?

Entrainement 10 ++ :
fonction continue de dans. Montrer que pour tout , est de cardinal .

Entrainement 11 :
Soit un polynôme de tel que et .
Montrer que pour tout

Entrainement 12 :
On note la factorielle de alléger de 2, qui est le produit des nombres entre et , à l'exception des nombres pairs.
Calculer :

A suivre...

Bonne soirée.

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 04 Jan 2017, 22:30

Entrainement 13 + :
B l'ensemble des fonctions de [0,1] dans [0,1], muni de la métrique .
Le sous-ensemble des fonctions continues en 0, y-est-il dense ?

Entrainement 14 :
Soit une fonction de dans lui même tel que , montrer qu'alors admet une valeur propre entière (càd il existe entier et tel que .

Entrainement 15 :
Calculer

Entrainement 16 :
Déterminer le terme générale de la suite avec et

Entrainement 17 :
Soit continue de dans lui même, avec compact connexe de . A-t-on alors admet un point fixe ?

Entrainement 18 + :
On note est la factorielle allégée de , c'est le plus grand entier, premier avec et qui divise
Montrer que pour tout tel que et entier premier :


Entrainement 19 :
Soient un entier premier impair, tel que et
Montrer que si alors la fonction polynôme associé à n'est pas une permutation de .

Entrainement 20 :
La série suivante converge-t-elle :


Entrainement 21 +++ :
Soit nombre entier plus grand que 5, un sous-groupe de .
Montrer que si avec alors .

Entrainement 22 :
A-t-on

?

Entrainement 23 + :
On note , on prend la suite récurrente de tel que et .
Existe-t-il un rang tel que ?

Entrainement 24 :
Soit un nombre premier et un élément primitif du groupe multiplicatif de .
Montrer que (on notera la fonction partie entière ) :

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 09:01

Salut,


énoncé 1 : critère nécessaire de groupitude ?
a/ Soit un sous-groupe multiplicatif de ( premier), avec et les distincts, différent de .
A-t-on ?

b/ On suppose que .
A-t-on ?



énoncé 2 : plein les sinus
Calculer, modulo , la dérivée 100-iem en 0 de (fonction composée de ) ?

inutile de faire le calcul :

Comment calculer, en moins de 10 minutes avec un pc récent, la dérivée 100-iem en 0 de (fonction composée de ) ?


Bonne journée.
Modifié en dernier par Arbre le 05 Jan 2017, 13:19, modifié 2 fois.

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Ben314
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Ben314 » 05 Jan 2017, 10:07

Je comprend rien à tes notations :
Arbre a écrit:
Le truc en rouge, il est sensé vouloir dire quoi ?
Déjà, le "mod p", placé où il est, il ne veut rien dire : la syntaxe normale étant "" : "truc est congru à bidule modulo p" avec un congru et pas un égal.
Ensuite, le o(H), tout ce que ça évoque pour moi, c'est les notation de Landeau pour des Comparaison_asymptotique et je vois vraiment pas ce que ça viendrait f.. ici.

Sinon, si H est un sous groupe multiplicatif de , il est forcément cyclique et on a divise .
Et réciproquement, pour tout qui divise , il existe un unique sous groupe multiplicatif de qui soit de cardinal et ces éléments sont exactement les solutions de (donc est dans H ssi est pair)
Il en résulte que donc que .
On a donc
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Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 12:50

Ici o(H) c'est l'ordre du groupe H, c'est une notation, que je crois, standard que j'ai vu lors de mes études, ensuite il a bien le sens de la congruence (c'est le reste par la division euclidienne).

Bravo.

Bonne journée.
Modifié en dernier par Arbre le 05 Jan 2017, 13:34, modifié 2 fois.

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 13:11

énoncé 3 : équations fonctionnelles
Soient polynômes complexes.
Si , une fonction de dans , on note la fonction : avec .
Trouver une condition nécessaire et suffisante (sur les ) pour qu'il existe une fonction de dans tel que :

énoncé 4 : Diffie-Helmann par les polynômes
Soit un nombre premier, avec les premiers entre eux et impairs soit un polynôme de deux variable dans avec un générateur de , tel que pour tout .
Alors .

Bonne journée.
Modifié en dernier par Arbre le 05 Jan 2017, 20:27, modifié 2 fois.

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 14:38

Je ne donnerais la solution que si l'ensemble des participants à ce fil, reconnaisse que ce n'est pas parce qu'une solution est simple (compréhensible du plus grand nombre) qu'elle est facile à trouver.

Je considérerais avoir perdu mon défi, si au moins 3 énoncés sur 4 sont résolus (déjà 1 de tomber).

A bientôt.

beagle
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par beagle » 05 Jan 2017, 15:15

Arbre a écrit:Je ne donnerais la solution que si l'ensemble des participants à ce fil, reconnaisse que ce n'est pas parce qu'une solution est simple (compréhensible du plus grand nombre) qu'elle est facile à trouver.

Je considérerais avoir perdu mon défi, si au moins 3 énoncés sur 4 sont résolus (déjà 1 de tomber).

A bientôt.


cela n' a pas de sens, la résolution par Ben314 ou par moi -même n' a pas la même valeur de démonstration.

beagle
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par beagle » 05 Jan 2017, 15:16

"reconnaisse que ce n'est pas parce qu'une solution est simple (compréhensible du plus grand nombre) qu'elle est facile à trouver."
mais ceci est une évidence, donc je le reconnais
en voilà 1.

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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Ben314 » 05 Jan 2017, 17:05

beagle a écrit:"reconnaisse que ce n'est pas parce qu'une solution est simple (compréhensible du plus grand nombre) qu'elle est facile à trouver."
mais ceci est une évidence, donc je le reconnais
en voilà 1.
Exactement la même chose pour moi et je suis persuadé qu'absolument toutes les personnes qui ont fait un tant soit peu de math dans leur vie en sont tout aussi convaincus.

De plus, perso., si je devait trouver des exemples de "trucs simples dont le preuve est difficile à trouver", ben j'irais surement pas chercher dans des domaines aussi complexes que les congruence ou les groupes finis, mais bien plus simplement en géométrie où on trouve très facilement des problèmes dont la preuve est extrêmement difficile à trouver alors qu'elle est très courte est tout à fait compréhensible pour un collégien (par exemple le fameux problème de Langley).

Enfin, bref, je trouve ça très bien (*) de mettre des énigmes/défis quelque soit le niveau (surtout vu qu'en ce moment on peut pas dire qu'il y ait foule), mais le coté "je vais vous prouver qu'il y a des trucs simple et court mais difficile à trouver", je trouve ça passablement con vu que tout le monde le sait depuis longtemps.

(*) Encore que 24+4 problèmes dans un même thread et en moins de 48h, je sais pas si c'est bien futé comme technique : si on se met à répondre à tous en même temps, je te dit pas la lisibilité du thread...
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Ben314 » 05 Jan 2017, 17:22

Arbre a écrit:énoncé 3 : équations fonctionnelles
Soient polynômes complexes.
Si , une fonction de dans , on note la fonction : avec .
Trouver une condition nécessaire et suffisante (sur les ) pour qu'il existe une fonction de dans tel que : [/tex]
Soient et .
- Si alors
- Si alors car, si alors .
Et on en déduit via l'algo. d'Euclide que, si et si est le PGCD des alors .
C'est évidement impossible si le sont globalement premier entre eux vu que dans ce cas .
Et si ça n'est pas le cas, alors les ont au moins une racine commune et la fonction convient.
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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Ben314 » 05 Jan 2017, 17:33

Arbre a écrit:[énoncé 4 : Diffie-Helmann par les polynômes
Soit un nombre premier, avec les premiers entre eux et impairs soit un polynôme de deux variable dans avec un de ses éléments primitifs tel que pour tout .
Alors .
Et là, je comprend toujours que dalle :
- Les mod sont toujours autant placés en dépit du bon sens (parle à mon cul; ma tête est malade...) (*)
- C'est quoi un "élément primitif" d'un polynôme ?

(*) Si tu tient à parler de "reste de division par p" plutôt que de congruence, ben le mini du mini, ça serait d'utiliser un symbole qui ne désigne pas déjà autre chose en mathématique. Les (très rares) fois où j'ai vu utiliser un symbole pour le reste de la division euclidienne, c'est le symbole % que j'ai vu.

P.S. Et si ça t'intéresse, l'ordre d'un groupe H, c'est noté quasi unanimement |H|, parfois #H (le # servant souvent comme raccourci pour "cardinal") et très très rarement ord(H). Mais jamais o(H).
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Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 17:48

@Ben pour le 3 : bravo.

Bien évidement, moi aussi j'en suis convaincu.
Est-ce que Lostounet, l'est également ?

Bonne journée.

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 19:37

Le défi a été relevé : http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 43,1386282
Bravo à tous les participants, avec une mention spéciale pour Ben.

Bonne soirée.

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 05 Jan 2017, 19:39

Je vous laisse le 4 à chercher, sauf si on me demande la réponse et alors comme promis je donne ma réponse.

Bonne soirée.

Arbre

Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Arbre » 06 Jan 2017, 12:30

Bonjour,

On commence doucement avec entrainement 1 :

On pose dans . Calculer la dérivée 101e de en 2.
est la composée de n fois.

Bonne journée.

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Re: Facile et simple ne sont pas confondus

par Ben314 » 06 Jan 2017, 20:42

Ben celui là,

a) Il est archi. mal formulé, en particulier avec son dans qui laisse franchement à penser que et sont des éléments de alors que si effectivement c'était le cas, c'est à dire si f était définie comme une fonction de dans lui même, on ne risquerais pas de dériver quoi que ce soit vu que la notion de dérivée n'a aucun sens sur l'ensemble des fonctions de dans lui même.
Bref, il faut ABSOLUMENT écrire c'est à dire définir comme un polynôme formel (*) si tu veut que la notion de dérivation ait du sens.

b) Une fois que l'on se place dans le cas des polynôme formel, l'exo n'a aucun intérêt vu que dans , l'endomorphisme "dérivée -ième" est l'endomorphisme nul (si on dérive fois , on obtient et il y a forcément un multiple de dans le produit précédent le ).

(*) Et vu que les notions de polynômes formels et de fonctions polynômes ne coïncide pas sur les corps fini, la distinction entre les deux n'est pas du tout "un détail", mais quelque chose d'extrêmement important.
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