équation fonctionnelle

[MMu]

Soit un réel . Trouver les fonctions telles que ..

[Razes]

, ceci n'aide pas, sinon on aurait pu étudier les deux cas: et

[Razes]

Désolé c'est un peu sec.
On commence par deux dérivations selon puis selon .








Facile à intégrer

[MMu]

Désolé c'est un peu sec.
On commence par deux dérivations selon puis selon .








Facile à intégrer

Mais pourquoi supposer dérivable ?!

[lulu math discovering]

Je ne comprends comment tu déduis que 1/f'(x) est une constante.

[Razes]

Le coté gauche dépends de et le coté droit dépends de .

et étant indépendants donc obligatoire que ce soit une constante (si tu veux tu peux prendre par exemple du moment que c'est pour tout )

[zygomatique]

salut

si f est continue on peut toujours considérer 0 car il n'y a aucun pb en 0

et si f existe en 0 alors f(0)² = f(0) => f(0) = 0 ou f(0) = 1

si f(0) = 0 alors la fonction nulle convient ...

si f(0) = 1 alors f(x) = kf(x) ... to be continued

si f n'est pas continue (et en particulier 0 il n'y a plus lieu de considérer 0 ...


f(x)f(y) = kf(x + yf(x))
f(y)f(x) = k f(y + xf(y))

donc f(x + yf(x)) = f(y + xf(y)) (*)

si y = 1 alors f(x + f(x)) = f(1 + xf(1)) ....

si y = tx (t réel positif strictement) : f(x + txf(x)) = f(tx + xf(tx)) <=> f[(1 + tf(x))x] = f[(t + f(tx))x] ...

ouais bof ...

si f est bijective alors de (*) on déduit que : x + yf(x) = y + xf(y) <=> en divisant par xy qui n'est pas nul

comme c'est vrai pour tout x et y ces deux membres sont constants donc f(x) = 1 + cx où c est une constante ... to be continued pour exprimer c en fonction de k ...


mais bon il y a beaucoup de si ... et peut-être des erreurs !!

[Razes]

ou es tu MuMu?

[MMu]

ou es tu MuMu?

Dans le même système solaire que toi ..

[Doraki]

f est croissante :
En effet si on a x1 < x2 avec f(x2) < f(x1) alors en prenant y = (x2-x1)/(f(x1)-f(x2)) (qui est bien positif),
on obtient f(x1)f(y) = k f(x1 + y f(x1)) = k f(x2 + y f(x2)) = f(x2) f(y) et donc f(x1) = f(x2), contradiction.

Supposons qu'il existe x > 0 avec f(x) < 1.
Alors en prenant y = x/(1-f(x)), on obtient
f(x) f(x/(1-f(x))) = k f(x/(1-f(x))).
Comme f(x/(1-f(x))) est non nul, on peut simplifier et on a f(x) = k et pour tout y, f(y) = f(x+ky).
Comme f est croissante, on en déduit facilement que f est constante à k.

Reste le cas où f(x) >= 1 pour tout x > 0.
Si y>x alors f(x)f((y-x)/f(x)) = kf(y), et donc f(y) >= f(x)/k
De là on déduit facilement que f(x) >= 1/k^n pour tout n (et pour tout x >0), ce qui est impossible.

Donc f(x) = k est la seule solution.

[MMu]

Bravo Doraki, bien vu.
Il y a aussi les cas et que l'on peut étudier

[MMu]

Considérons et .
Comme l'a montré Doraki, doit être croissante .
Il s'ensuit . Deux cas sont possibles :
1..) n'est pas injective, donc il existe tel que .
Il en résulte qu' il existe tel que et on obtient
Il s'ensuit .
2..) est injective.
De on déduit donc a la forme .
On remplace dans la formule de définition de et on a qu'il faut .