Equation fonctionnelle

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Un petit bricolage d'exo que je ne sais d'ailleurs pas résoudre, mais ça peut être intéressant d'y réfléchir !

Trouver toutes les fonctions définies et continues sur telles que :

[Nightmare]

Hello,

un indice : Si l'on pose g=tan(f) alors g(1/x)=1/g(x).

[Doraki]

Et est-ce que tu sais résoudre l'équation fonctionnelle f(x) = -f(-x) pour f continue de R dans R ?

[Kikoo <3 Bieber]

Et est-ce que tu sais résoudre l'équation fonctionnelle f(x) = -f(-x) pour f continue de R dans R ?

fonctions impaires de R dans R. C'est-à-dire pas mal non ?

[Doraki]

oui.
maintenant pour ton problème d'origine, tu penses quoi de f(x) = pi/4 + g(ln(x)), où g est une fonction impaire ?

[Anonyme]

@Kikoo <3 Bieber

Quand on étudie la fonction définie par f(x)=Arctan(x)
on apprend à démontrer que :


ps)
par contre je ne sais pas si c'est la seule fonction que l'on peut obtenir en partant de ton équation fonctionnelle ?
A partir de cette solution , il faut peut être travailler sur la dimension du EV solution ?

[Kikoo <3 Bieber]

oui.
maintenant pour ton problème d'origine, tu penses quoi de f(x) = pi/4 + g(ln(x)), où g est une fonction impaire ?

f(x)=pi/4 + g(ln x) convient visiblement !

[Kikoo <3 Bieber]

@Kikoo <3 Bieber

Quand on étudie la fonction définie par f(x)=Arctan(x)
on apprend à démontrer que :


ps)
par contre je ne sais pas si c'est la seule fonction que l'on peut obtenir en partant de ton équation fonctionnelle ?
A partir de cette solution , il faut peut être travailler sur la dimension du EV solution ?

C'est de là que je suis parti pour bâtir cette équation, bien vu Et oui je ne sais pas si Arctan est la seule solution.
Ben apparemment non parce que pi/4 + ln^3(x) convient d'après la piste de Doraki.

[chan79]

[quote="Kikoo 1, f(x)=g(x)
si x=1, f(x)=pi/4
si 0<x<1, f(x)=pi/2-g(1/x)
f doit convenir ???
cas particulier: la fonction constante égale à pi/4 sur ]0,+inf[
Edit: je viens de voir que j'ai oublié l'hypothèse de continuité

[Anonyme]

f(x)=pi/2 + g(ln x) convient visiblement !

Non ce qu'a indiqué Doraki c'est que la fonction définie sur par convient
avec n'importe quelle fonction g à condition que cette fonction g soit une fonction impaire et contunue

En effet on a donc

Conclusion
On a bien

Donc il y a une infinité de solutions : les fonctions définies par

avec une fonction continue impaire quelconque

idem pour

Peut être qu'il y en a encore d'autres ?
Comment les trouver toutes ?

[chan79]

[quote="Kikoo =1, f(x)=g(x)
si 0<x<1, f(x)=pi/2-g(1/x)
f convient
cas particulier: la fonction constante égale à pi/4 sur ]0,+inf[
un autre exemple:
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img204/6038/43662194.png[/img][/IMG]

[Kikoo <3 Bieber]

Non ce qu'a indiqué Doraki c'est que la fonction définie sur par convient
avec n'importe quelle fonction g à condition que cette fonction g soit une fonction impaire et contunue

En effet on a donc

Conclusion
On a bien

Donc il y a une infinité de solutions : les fonctions définies par

avec une fonction continue impaire quelconque

idem pour

Peut être qu'il y en a encore d'autres ?
Comment les trouver toutes ?

Oui, g est forcément impaire, je ne vois pas ce qui pose problème :hein: C'est pour cela qu'en exemple j'ai donné

[Anonyme]

Oui, g est forcément impaire, je ne vois pas ce qui pose problème :hein: C'est pour cela qu'en exemple j'ai donné

Il n'y a pas de problème puisque tu as pris pour la fonction g la fonction définie par g(x)=x^3 qui est une fonction continue et impaire

Tout ce qu'on peut conclure pour le moment c'est qu'il y a une infinité de solutions
et je suis intéressé de savoir s'il y a un moyen de trouver toutes les solutions de cette équation fonctionnelle

[chan79]

je suis intéressé de savoir s'il y a un moyen de trouver toutes les solutions de cette équation fonctionnelle

salut
Il y a autant de solutions que de fonctions continues sur [1,+inf[ et prenant la valeur pi/4 en 1
Si on pose
la fonction f définie ci-dessous convient
si x>=1 f(x)=g(x)
si x<1 f(x)= /2 - g(1/x)
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img802/8849/98133989.png[/img][/IMG]

[Doraki]

Peut être qu'il y en a encore d'autres ?
Comment les trouver toutes ?

il n'y en a pas d'autre, l'opération qui à une fonction impaire g associe la fonction f : x -> pi/4+g(ln(x)) est une bijection entre les fonctions continues g de R dans R vérifiant g(x)= -g(-x) et les fonctions continues f de R+* dans R vérifiant f(x)+f(1/x) = pi/2.

Tu peux décrire l'opération réciproque et montrer que l'équation de f impliquera celle de g.

Je n'ai fait que "mettre en forme" l'équation fonctionnelle de manière à avoir un truc plus reconnaissable.

[Anonyme]

Il y a autant de solutions que de fonctions continues sur [1,+inf[ et prenant la valeur pi/4 en 1

merci pour ces explications.
Peux tu me donner une démonstration de ce que tu as écrit ?

[chan79]

merci pour ces explications.
Peux tu me donner une démonstration de ce que tu as écrit ?

salut
je vais essayer de détailler
Soit E l'ensemble des fonctions g, continues sur [1,+inf[ telles que g(1)=pi/4
Soit F l'ensemble des fonctions continues sur R+* telles que f(x)+f(1/x)=pi/2 pour tout x de ]0,+inf[.
On considère la fonction r de E dans F définie de la façon suivante:
soit g un élément de E
r(g) est la fonction f définie par:
si x>=1 f(x)=g(x)
si 01 et g(1/x) existe bien)
Montrons que r est bijective
1°) Il faut d'abord montrer que f est bien un élément de E.
Pour la continuité, il faut vérifier en particulier la continuité en 1
Quand x tend vers 1 à droite, f(x)=g(x) tend vers g(1)=pi/4
Quand x tend vers 1 à gauche, 1/x tend vers 1+ et pi/2-g(1/x) tend vers pi/2-pi/4=pi/4
Montrons ensuite que la relation f(x)+f(1/x)=pi/2 est vérifiée
Si x>=1 f(x)+f(1/x)=g(x)+pi/2-g(x)=pi/2 ( car l'inverse de 1/x est x)
Si 01 f(x)=g(x)=f1(x)
si 01)
donc f=f1

Exemple:la courbe de f est tracée avec geogebra, elle coïncide avec celle de g si x>=1
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img254/9339/50512297.png[/img][/IMG]
A noter la dérivabilité de f en 1 si g est dérivable à droite en 1
Tout ça est bien-sûr compatible avec ce qu'a écrit Doraki
A partir de la fonction f dessinée ci-dessus, on peut retrouver la fonction impaire de Doraki:
Je la nomme g1 pour ne pas la confondre avec ma fonction g qui m'a servi à construire f.
Donc, sauf erreur ( évidemment!) :
si x>=0 alors g1(x)=
si x<0 alors g1(x)=

[Anonyme]

@chan79
Superbe ! et un grand MERCI (pour toutes tes contributions aux divers discussions du forum)

ps)
sans oublier de remercier également Doraki pour toutes les pistes de travail qu'il (ou elle) écrit
et qui sont, en général, très efficaces quand on les comprend

[chan79]

@chan79
Superbe ! et un grand MERCI (pour toutes tes contributions aux divers discussions du forum)

De rien, ce n'est pas si extraordinaire que ça :zen:
J'ai rajouté quelques lignes au-dessus pour faire le lien avec la fonction impaire de Doraki

[Kikoo <3 Bieber]

salut
je vais essayer de détailler
Soit E l'ensemble des fonctions g, continues sur [1,+inf[ telles que g(1)=pi/4
Soit F l'ensemble des fonctions continues sur R+* telles que f(x)+f(1/x)=pi/2 pour tout x de ]0,+inf[.
On considère la fonction r de E dans F définie de la façon suivante:
soit g un élément de E
r(g) est la fonction f définie par:
si x>=1 f(x)=g(x)
si 01 et g(1/x) existe bien)
Montrons que r est bijective
1°) Il faut d'abord montrer que f est bien un élément de E.
Pour la continuité, il faut vérifier en particulier la continuité en 1
Quand x tend vers 1 à droite, f(x)=g(x) tend vers g(1)=pi/4
Quand x tend vers 1 à gauche, 1/x tend vers 1+ et pi/2-g(1/x) tend vers pi/2-pi/4=pi/4
Montrons ensuite que la relation f(x)+f(1/x)=pi/2 est vérifiée
Si x>=1 f(x)+f(1/x)=g(x)+pi/2-g(x)=pi/2 ( car l'inverse de 1/x est x)
Si 01 f(x)=g(x)=f1(x)
si 01)
donc f=f1

Exemple:la courbe de f est tracée avec geogebra, elle coïncide avec celle de g si x>=1
[img][IMG]http://imageshack.us/a/img254/9339/50512297.png[/img][/IMG]
A noter la dérivabilité de f en 1 si g est dérivable à droite en 1
Tout ça est bien-sûr compatible avec ce qu'a écrit Doraki
A partir de la fonction f dessinée ci-dessus, on peut retrouver la fonction impaire de Doraki:
Je la nomme g1 pour ne pas la confondre avec ma fonction g qui m'a servi à construire f.
Donc, sauf erreur ( évidemment!) :
si x>=0 alors g1(x)=
si x<0 alors g1(x)=

Salut Chan,

J'ai lu en biais. Pourquoi cherches-tu à montrer que r est surjective et injective alors que tu as déjà prouvé qu'elle est bijective sur un certain intervalle ?