équation fonctionnelle

[MMu]

Salut ami(e)s de ce forums, voici un problème soumis à votre sagacité :
Trouver toutes les fonctions (réels positifs) telles que
:zen:

[ffpower]

Il manque une paranthèse..

Sinon, f^3, c'est le cube ou l'itéré 3-ième?

Sinon bis, pas de régularité supposée?

[MMu]

Il manque une paranthèse..

Sinon, f^3, c'est le cube ou l'itéré 3-ième?

Sinon bis, pas de régularité supposée?

Merci pour la paranthèse.. est le cube .. et aucune supposition de régularité .. :zen:

[Matt_01]

En posant , j'obtiens une équation du style :
(ou quelque chose du genre)
Le fait que f soit de R+ dans lui même assure les mêmes propriétés pour g (sauf qu'on la défini pas en 0)
Ainsi, g^3(x) \leq 2 ce qui implique et donc

etc etc ...
On en vient à étudier la suite avec u_0=2 qui converge vers 1 (c'est assez chiant mais ca se montre, même s'il doit y avoir plus simple)
Ainsi, g(x) = 1 et f(x) = 2x^3 pour x différent de 0.
On montre alors facilement que nécessairement f(0) = 0 et donc f(x)=2x^3

[MMu]

Pas mal Matt_01, mais la convergence de est de la même eau que le problème initial et reste toujours à prouver :lol3:
Mais bien-sur il y a plus simple sans passer par là :zen:

[Matt_01]

En fait j'ai montré que f est contractante sur et que cet intervalle est stable par f (avec f telle que u(n+1)=f(un)).
Et donc u(n)converge bien vers un point fixe de f.
Quelle est ta solution ?

[MMu]

En fait j'ai montré que f est contractante sur et que cet intervalle est stable par f (avec f telle que u(n+1)=f(un)).
Et donc u(n)converge bien vers un point fixe de f.
Quelle est ta solution ?

est évidemment bornée avec .


Il s'ensuit
Mais d'où , donc et finalement