Equation fonctionnelle

[ffpower]

Puisque chacun y va de sa petite équation :)
Un ami m'a donné celle ci, et j'ai un peu du mal à démarrer ( pourtant elle a l'air assez bateau..)
Trouver les f:R->R telles que pour tout x,y
f(x²+y²)=f(x²)+f(y²)+2f(x)f(y)

[fractale]

salut
deja il y a f(x)=x².

[girdav]

On voit qu'il y la la fonction constante égale à (et la fonction nulle) et que si n'est pas cette fonction alors . On voit aussi que est paire. Il y a peut-être un changement de variable qui simplifierait la chose, mais pour l'instant je n'ai pas mis la main dessus.

[Dinozzo13]

Le calcul intégral peut-il être efficace ?

[Anonyme]

Le calcul intégral peut-il être efficace ?

Elle n'est même pas continue par hypothèse ..

[ffpower]

Ouais, si elle est continue, avec de l'intégration ya p-e moyen d'obtenir la régularité puis de voir ce qu'il se passe quand on dérive..
M'est avis que les seules solutions sont les 3 qui ont été annoncées :)

[Anonyme]

Je sèche complètement sur celle ci. J'ai tout essaye et j'ai rien trouvé a chaque fois que j'essaye de lui changer de forme je me rend compte que la forme obtenu contient exactement les même info que la forme initiale :mur: j'ai meme essaye d'utiliser l’identité :marteau:

[ffpower]

Bon j'ai enfin réussi à avancer un peu ( jusque là, j'étais comme Qmath : tout essayé et à chaque essai, pas de relation interessante..)
Voilà ce que j'ai pour l'instant :
J'utilise 2 fois l'équation pour calculer f(x²+y²+z²). Ca donne

J'en déduis que la quantité est invariante par permutation de x, y et z.
En particulier, en utilisant l'invariance par l'échange yz pour un z fixé tel que f(z) non nul, ça donne que pour une certaine fonction g. Puis en utilisant l'invariance de par l'échange xy, on a en fait que pour une certaine constante C.

C'est pour l'instant la seule relation interessante que j'ai obtenue. Si on arrivait à montrer que quand f n'est pas constante, C=0, la victoire serait probablement proche..