Equation fonctionelle (4)

[Anonyme]

Soit tel que , et

Amusez vous bien :lol3:

[Anonyme]

Est ce que quelqu'un est arrive a trouver quelque chose d’intéressant ?

En ce qui me concerne j'ai conjecturé fort que f(a,b)=PPCM(a,b) mais pour achever ma demo (récurrence) il faut que je demontre que ou est le reste de la division de par pour l'instant je trouve pas comment y parvenir ...

(NB j'ai testé cette égalité pour plusieurs valeurs et il semble bien qu'elle soit vraie)

[fractale]

bonjour
j'ai pas eu besoin de ça pour arriver a f(a;b)=PPCM(a;b)
la formule du PPCM a partir du PGCD suffit quasiment.
mais j'ai pas démontré que c'était la seule possiblilité de fonction

[Anonyme]

La vérification est simple en effet mais j'ai besoin de l’égalité de mon dernier post pour montrer que seul le PPCM convient.

[Matt_01]

Ca tient du fait que pgcd(a,b)ppcm(a,b) = ab
En partant de pgcd(xy,xz)= x*pgcd(y,z) et que pgcd (a,r)= pgcd(a,b) ca passe tranquille.

[Anonyme]

Ca tient du fait que pgcd(a,b)ppcm(a,b) = ab
En partant de pgcd(xy,xz)= x*pgcd(y,z) et que pgcd (a,r)= pgcd(a,b) ca passe tranquille.

Et dire que c'etait si simple :mur: :mur:

[benekire2]

Peut-tu écrire ta preuve de l'unicité Qmath stp ?

Merci !

[fractale]

Peut-tu écrire ta preuve de l'unicité Qmath stp ? Merci !

Bonne idée je vois pas trop comment on prouve l'unicité en passant par le PPCM, ou j'ai raté un truc.

[Anonyme]

En fait j'ai un gros point d'interrogation sur ce que j'ai fais : si cela peut être considéré une preuve de l’unicité ou bien une vérification mais je pencherais plutôt vers la 1ere.

Je fais le changement de variable y= y+x . La 3eme relation se réécrit :


Sans perte de généralité (a cause de la relation 2) je suppose que et je considère la division euclidienne de par ,


Cela se réécrit:
(d’après la relation 2)

Et la on commence notre récurrence forte.
Initialisation:
On vérifie sans problème que et que .
On peut aussi verifier que et

On suppose que pour tout : et montrons que :

1er cas

ou est le reste de la division de par
(d’après l’hypothèse de récurrence car )
or (cf le post de Matt_01)

donc

Par suite f ne peut être que le PPCM et réciproquement on vérifie que PPCM convient.

[fractale]

C'est sûr qu'a la fin c'est presque un moyen de définir le PPCM donc en quelque sorte une preuve de l'unicité.

[Matt_01]

En fait je pense qu'en considérant xy/f(x,y), on peut faire apparaître l'algorithme d'euclide. Alors necessairement, cette fonction serait le pgcd.
Ou alors ca ne marche pas, j'ai pas du tout verifié.