Equation fonctionelle (2)

[Anonyme]

Salut

défini sur tel que .

Trouver .

[Olympus]

Salut !

C'est un exo de la dernière étape des olympiades marocaines de l'année dernière

Remarque que .

[Ben314]

Salut,
C'est là que c'est utile d'avoir un peu vu le groupe des homographies...

[Olympus]

Pour développer l'idée de mon précédent message :



Après simplifications, le système devient équivalent à :





Réciproquement, cette fonction vérifie bien notre énoncé .

@Ben : peux-tu développer ? :happy3:

[Anonyme]

Salut !

C'est un exo de la dernière étape des olympiades marocaines de l'année dernière

Remarque que .

et tu l'utilise comment ici ?

et ca veut dire quoi "groupe des homographie" ?

Sinon j'ai une autre solution :lol3:

[Anonyme]

Pour développer l'idée de mon précédent message :



Après simplifications, le système devient équivalent à :





Réciproquement, cette fonction vérifie bien notre énoncé .

@Ben : peux-tu développer ? :happy3:

En fait il s'agissait de la même solution ... mais j'avais pas laisser sous la forme de "fraction continue".

En ce qui concerne est ce une identite remarquable a connaitre ? si oui y en a t-il d'autre du même genre ?

[Olympus]

Ben non, je ne me suis pas entrainé, ni même renseigné sur les équations fonctionnelles lorsque j'ai passé l'étape où figurait cet exercice l'année dernière, donc je n'avais pas "d'identités remarquables" en tête . Je jouais juste avec les fractions . En fait, j'essayais de trouver une autre écriture du "x" . J'ai commencé par écrire

Ah oui, j'ajouterai aussi que ce qui m'avait poussé au était justement le fait que 0 ne faisait pas partie de l'ensemble de définition alors que dans l'énoncé il n'y a pas de "x" au dénominateur ... La transformation criait d'être utilisée :zen:

[Zweig]

Qmath > En fait, c'pas vraiment sur les identités remarquable que ça joue mais dans l'existence d'une fonction g telle qu'il existe un naturel n (pas trop grand ...) vérifiant . Pourquoi ? Ici on a une équation fonctionnelle de la forme f(x) + f(g(x)) = h(x). Donc on a donc



.
.
.



et en utilisant la propriété de g, on a le système équivalent :



.
.
.



Donc tu isoles f(x) dans la dernière relation et de proche en proche en remontant tu obtiens l'expression de f(x). Généralement, si l'exo est bien fichu, n = 2 ou 3.

[Anonyme]

Qmath > En fait, c'pas vraiment sur les identités remarquable que ça joue mais dans l'existence d'une fonction g telle qu'il existe un naturel n (pas trop grand ...) vérifiant . Pourquoi ? Ici on a une équation fonctionnelle de la forme f(x) + f(g(x)) = h(x). Donc on a donc



.
.
.



et en utilisant la propriété de g, on a le système équivalent :



.
.
.



Donc tu isoles f(x) dans la dernière relation et de proche en proche en remontant tu obtiens l'expression de f(x). Généralement, si l'exo est bien fichu, n = 2 ou 3.

C'est exactement comme ça que j'ai procédé. :zen:

[Ben314]

...@Ben : peux-tu développer ? :happy3:

Je ne sais pas si tu a vu ce qu'est une matrice, mais il y a un résultat assez interessant concernant les homographies, c'est à dire les fonctions de la forme : quand tu compose l'homographie avec , cela revient en fait à faire le produit des matrices et (en fait c'est le tout début de la notion d'espace projectif)
Cela permet en particulier, lorsque l'on maitrise un peu le calcul matriciel (déterminant, trace, diagonalisation...) de faire des déductions extrèmement rapide concernant les homographies.