Equation fonctionelle

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 19:40

Bonsoir,

Puisque nightmare avait proposé l'équation de Cauchy , j'en propose une classique aussi:

Trouver toutes les applications de

continues telles que :

Et comme les olympieux n'auront pas fini de lire l'énoncé qu'ils auront la solution une plus dure ( que je viens de trouver sur le net "crue" ) :

Trouver toutes les applications de

dans

qui sont strictement croissantes et qui vérifient :

Bonne réflexion :lol3:

par **vincentroumezy** » 13 Déc 2010, 19:42

Pour la première, c'est la fonction ln(x).

par **Olympus** » 13 Déc 2010, 19:47

Salut !

Euh pour ta première, mets y à 0 ...

EDIT : ha, t'es apparemment entrain d'éditer ton énoncé ^^

par **Anonyme** » 13 Déc 2010, 19:54

vincentroumezy a écrit:Pour la première, c'est la fonction ln(x).

Pas nécessairement ...

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 19:55

Olympus a écrit:Salut !

Euh pour ta première, mets y à 0 ...

EDIT : ha, t'es apparemment entrain d'éditer ton énoncé ^^

Yo !

je te comprends pas trop .. où est-ce que ça cloche ?

Vincent > A constante multiplicative près oui, reste ( évidemment !! ) à la prouver.

par **Doraki** » 13 Déc 2010, 20:00

c'est quoi I ?

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 20:01

Doraki a écrit:c'est quoi I ?

Un intervalle de R, R+* si tu veut ...

par **Olympus** » 13 Déc 2010, 20:06

Rien, au début t'avais mis R->R, donc vu qu'on avait le droit d'avoir des valeurs nulles, j'ai mis y à 0 puis eu f(x)=0, facilité qui n'était sûrement pas voulue ^^

par **Anonyme** » 13 Déc 2010, 20:13

Pour la 1ere on peut se ramener a une équation de Cauchy pour trouver que

.

Ça m'a l'air un peu tordu comme méthode pour une équation "simple" comme celle ci mais sans lhypothèse de dérivabilité je ne pense pas qu'on puisse faire autrement d'ailleurs il manque lhypothèse de continuité (a moins que l'on peut s'en sortir sans cela).

par **Nightmare** » 13 Déc 2010, 20:18

benekire2 a écrit:
trouver toutes les applications de telles que :

Salut !

Manquerait pas l'hypothèse de continuité? Parce que sans, tout comme on a des fonctions Q-linéaires non R-linéaire, on risque d'avoir des solutions qui ne sont pas sous la forme a.ln

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 20:43

Nightmare a écrit:Salut !

Manquerait pas l'hypothèse de continuité? Parce que sans, tout comme on a des fonctions Q-linéaires non R-linéaire, on risque d'avoir des solutions qui ne sont pas sous la forme a.ln

Oui , désolé , continuité imposée , sinon, on va avoir des trucs trop laids je pense .. et probablement dense dans R² là aussi ...

par **Anonyme** » 13 Déc 2010, 20:47

Et sinon vous avez fait comme moi ?

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 21:06

peso je résous d'abord f(xy)=f(x)f(y) pour tout x,y et f continue.

Et je conjecture fort que seul les k ln(n) pour k>0 sont solutions pour ma dernière question...

In White ;

f(1)=0,1 et si c'est 0 f=0 donc f(1)=1 donc f(n²)=f(n)² ie f(n^k)=f(n)^k pour tout k dans N , Par suite k=p/q f(n^k)=f(n)^pf(n^(1/q)) ie f(n^1/q)=f(n)^(1/q) et on conclu par continuité. (n est un réel bien sûr (positif obv) :ptdr: )

par **Le_chat** » 13 Déc 2010, 22:19

Hum si je puis me permettre, une méthode "rapide" pour résoudre la 1ere: montrer que f es nécessairement C1, en intégrant l'équation à y fixé...Ca marche pas tout le temps mais quand ça marche... :zen:

par **benekire2** » 13 Déc 2010, 22:59

Le_chat a écrit:Hum si je puis me permettre, une méthode "rapide" pour résoudre la 1ere: montrer que f es nécessairement C1, en intégrant l'équation à y fixé...Ca marche pas tout le temps mais quand ça marche... :zen:

Oui ca a l'air de fonctionner aussi.

Sinon vous en pensez quoi de la deuxième équation? mignone...

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