Ensemble défini par récurrence

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 03:05

Hello,

je suis tombé sur l'exercice suivant, pas compliqué à première vue...

On construit par récurrence les ensembles suivant :

puis en notant , on pose (ie on prend tous les éléments de E(n) plus 1 qui ne sont pas dans E(n+1) et tous les éléments de E(n+1) qui ne sont pas un élément de E(n) plus 1)

Trouver pour n quelconque.

Bon courage !
:happy3:

par **ffpower** » 28 Nov 2010, 03:33

Et voilà, un exo de plus de torché...Quoi? Ah, ça suffit pas ?

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 03:38

C'est un bon début, plus que 99% du travail restant :lol3:

par **Doraki** » 28 Nov 2010, 11:30

Ei contient j

est impair
(en espérant avoir écrit le machin dans le bon sens)

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 13:05

Hum, c'est vrai ce truc là?

par **Doraki** » 28 Nov 2010, 13:18

bah ouais j'crois bien.

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 14:13

Il y a surement un problème dans tes indices :

j=1, i=3 :

sans que

par **Doraki** » 28 Nov 2010, 14:15

est impair donc

?

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 14:18

Je ne comprends pas, doit-on comprendre ton "(j-1)E(i-2) <=> jE(i-1)" comme une assertion vraie ou considères-tu que SI elle est vraie, alors on a le reste?

Le premier cas est faux, le deuxième je ne vois pas bien ce qui entraînerait la deuxième ligne. En fait, je n'ai pas beaucoup fait comme ça, mais j'espère que ton truc marche car quand même bien plus court.

par **Doraki** » 28 Nov 2010, 14:24

j'ai mis l'étape de récurrence dans la preuve par récurrence que mon identité marche.

(a <=> b) c'est vrai si a et b sont vrais ou si a et b sont fausses, et c'est faux si a est vrai et b est fausse ou le contraire.
C'est la définition de "j n'est pas dans Ei" et je montre que c'est compatible avec mon identité.

Dans le cas j=1 i=3, chaque ligne s'évalue à faux donc ça veut dire que 1 est dans E3.

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 14:30

Ok je comprends mieux, dans ce cas ça me va!

par **Ben314** » 28 Nov 2010, 15:04

Salut,
J'ai pas regardé les réponses (pour continuer à chercher), mais le problème me semble plus "calculatoire" si on identifie les parties finies de

au éléments du

-espace vectoriel

le "

" correspond à l'endomorphisme

de "décalage à droite" et la différence symétrique correspond à l'addition : on a alors un problème d'algèbre linéaire :zen:

par **Nightmare** » 28 Nov 2010, 15:16

C'est F2[X] ton truc ! J'ai travaillé là dedans aussi.

par **Ben314** » 28 Nov 2010, 16:24

Effectivement, je tombe sur

où

sont les racines du polynôme

dans une extention du corps

.
En particulier,

et cela montre que, si

est une puissance de 2 alors

par **Ben314** » 28 Nov 2010, 16:59

Bon, je vient de regarder la réponse de Doraki :
ça marche trés bien et c'est nettement plus élémentaire :cry:

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