Encore des trajectoires...

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Vassillia
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Encore des trajectoires...

par Vassillia » 19 Juil 2021, 14:31

Bonjour,
Comme vous avez réussi à m'abreuver, je vous sollicite à nouveau pour me nourrir (je suis légèrement exigeante je sais).

Ma proie et moi sommes coincées au même endroit. On peut se déplacer uniquement sur les chemins verts (assimilés à des segments) entourés pas des murs. On a OA=OB=OC=L, je suis au point O et j'ignore totalement où est ma proie. Je me déplace 2 fois plus vite qu'elle et je peux la voir à une distance inférieure ou égale à d.
Image
Quelle stratégie vous me proposez en fonction de d ? Quelle est la valeur minimale de d pour laquelle je suis certaine de finir par voir ma proie en étant suffisamment persévérante ? Les enchères commencent ::d
Plus sérieusement, n’hésitez pas à proposer même si vous êtes loin du minimum, j'essaye autant que possible de trouver des idées où tout le monde peut participer même sans solution optimale.



GaBuZoMeu
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Re: Encore des trajectoires...

par GaBuZoMeu » 19 Juil 2021, 18:32

Bonjour,

Si , facile.

Vassillia
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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 19 Juil 2021, 18:59

D'accord, je te crois sur parole, mais pour les enchères suivantes, il va falloir m'expliquer comment faire.
Je me doute d'où vient ta borne mais si tu l'écris proprement, tu vas peut-être améliorer ton offre sans avoir besoin de faire de gros efforts.
Tant mieux, cette fois au moins ce sera progressif, le suspens va durer plus longtemps. Mon instinct me dit que ce n'est pas ton dernier prix et cela laisse de la place pour enchérir.

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 20 Juil 2021, 12:28

Je dirais que pour d>L/3 c'est bon aussi , il suffit de s'engager dans une branche sur une longueur L-d puis faire demi-tour à toute vitesse jusqu'au carrefour si on n'a pas vu notre proie .

Imod

Vassillia
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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 20 Juil 2021, 13:26

Jolie proposition Imod, qu'est-ce qui se passe avec cette stratégie en fait pour que tout le monde comprenne ?

Quand je suis en O je vois à une distance de d donc ma proie est sur un point M qui vérifie OM>d
Quand je fais un aller-retour sur une distance L-d dans la branche OA par exemple. Soit je vois ma proie, soit j'en déduis qu'elle était dans la branche OB ou OC.
J'ai besoin de m'assurer que lorsque je fais la même stratégie dans OB (respectivement OC) ma proie n'a pas le temps de changer de branche de OC (respectivement OB) vers OA que j'ai déjà visité. Sinon, je vais passer mon temps à choisir entre 2 branches au hasard et si j'ai la poisse, cela va durer une éternité.
Ma proie qui va deux fois moins vite que moi ne parcourt que L-d pendant le temps de mon aller-retour.
Si L-d 2d alors je suis tranquille car elle doit d'abord parcourir OM>d et ensuite dans la nouvelle branche elle ne peut que parcourir une distance < d. Je la verrai quand je serai de retour au point O si elle a eu la mauvaise idée de changer de branche.

Autrement dit L 3d donc d L/3 mais on peut se débrouiller quand même si d est plus petit. Cela se complique, qui va surenchérir ?

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 21 Juil 2021, 10:06

Je tente le d>1/4 , on peut sûrement faire mieux ;)

Je visite complètement la colonne A avant de revenir en O : la cible se situe dans les couloirs B ou C à une distance supérieure à L/4 . Je m’engage dans B sur une longueur L/2 et je retourne en O si je n’ai rien vu . Je visite ensuite C jusqu’à 3L/4 afin de récupérer la proie si elle est dans ce couloir . On peut remarquer qu’elle n’a pas pu quitter ce couloir avant que je revienne sinon je l’aurais vu avant de m’engager dans B ou à mon retour en O . Si je n’ai rien trouvé je remonte en O et si je ne vois pas ma proie dans le couloir A je n’ai plus qu’à aller la chercher dans B .

Imod

GaBuZoMeu
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Re: Encore des trajectoires...

par GaBuZoMeu » 21 Juil 2021, 19:41

Allez, je pousserais jusqu'à d > L/5, mais là j'ai piscine. ;)

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 21 Juil 2021, 20:08

En effet je vois bien des allers et retours dans les branches B et C pour repousser la proie dans ses derniers retranchements . Je n'ai pas piscine mais un barbecue à surveiller et comme on ne sait pas si la proie est comestible , je vais parer au plus pressé .

J'y reviens ce soir à la fraîche :frime:

Imod

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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 21 Juil 2021, 20:53

Je me doute que GaBuZoMeu a généralisé la proposition de Imod en faisant converger une suite et c'est très joli de sa part même s'il faudra quand même des arguments pour valider la proposition. Je me disais aussi que c'était étonnant qu'il se contente de L/2.

Bonne nouvelle, c'est la meilleure offre possible si on ne veut pas risquer que la proie nous passe sournoisement dans le dos avec ce genre de stratégie. Mauvaise nouvelle, il y a un "si" dans ma phrase et il est volontaire ;)

Profitez bien de vos activités respectives, je monte la garde au point O en vous attendant, tout va bien, la proie ne passera pas.

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 21 Juil 2021, 23:52

Oui , c'est clair sur un dessin , on s'engage alternativement dans chaque branche d'une longueur 2d ; 3d ; 3,5d ; 3,75d ; ... , on ajoute à chaque fois la moitié de l'ajout précédent . Si d est strictement supérieur à L/5 c'est bon , sinon la proie peut se cacher au fond d'un couloir .

Imod

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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 22 Juil 2021, 01:38

On est d'accord pour d > L/5 pourtant... on peut encore faire mieux même si notre marge de progression s'amenuise.

Je donne un autre moyen d'obtenir cette borne
1er étape : aller-retour de distance L-d dans la branche A donc la proie ne plus plus être dans la branche A
2ème étape : aller-retour de distance 2d dans la branche B donc
- si la proie était dans la branche C, elle y est toujours car elle n'a pas eu le temps de changer de branche sans que je la vois à mon retour
- si la proie était dans la branche B, elle était à une distance >3d lors de mon éloignement max, elle est donc à une distance >2d quand je suis revenue au point O
3ème étape : aller-retour de distance L-d dans la branche C donc la proie ne peut plus être dans la branche C. J'en déduis qu'elle était forcément dans la branche B et elle a parcourue une distance L-d
- si pendant ce temps la proie est gentiment restée dans la branche B, elle est à une distance >d à mon retour en O sinon je la vois
- si pendant ce temps la proie a sournoisement changé de branche pour aller dans la branche A, elle est à une distance <L-d-2d=L-3d
4ème étape : allez-retour de distance 2d dans la branche A
- si la proie était dans la branche B, elle y est toujours car elle n'a pas eu le temps de changer de branche sans que je la vois à mon retour
- si la proie était dans la branche A, avant mon éloignement max elle a eu le temps de parcourir une distance d supplémentaire donc elle est à une distance <L-3d+d=L-2d
Je la vois si 2d+d L-2d donc 5d L donc d L/5
5ème étape : je parcours tranquillement la branche B, je sais qu'elle est là !

Distance totale dans le pire des cas avec cette stratégie, le double de
Distance totale dans le pire des cas avec la stratégie de Imod (et probablement GaBuZoMeu ?), le double de
Comme c'est moi qui fais les aller-retour, je ne vous cache pas que j'ai une nette préférence pour le moment :lol: Mais l'idée reste excellente et il va falloir s'en servir pour la suite si vous voulez bien continuer. Courage !

PS : message trop long mais j'espère que c'est clair sinon vous avez le droit de rouspéter

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 22 Juil 2021, 13:02

J'attend de voir comment faire avec d<1/5 mais il me semble qu'en parcourant un couloir jusqu'à L-d puis en revenant au centre avant de renouveler l'opération sur un des deux autres couloirs tiré au sort , la longueur moyenne du parcours avant le gain ( assuré statistiquement ) n'est pas si longue et elle dépend faiblement de d qui pourrait être très très petit .

Je détourne bien sûr le problème mais ce n'est pas moi qui ai parlé en premier d'économiser les efforts :P

Imod

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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 22 Juil 2021, 13:35

Essaye de fusionner ta stratégie avec celle que j'ai proposée, je pense que tu peux essayer de surenchérir toi même. J'ai bien détaillé les étapes, tu peux peut-être en remplacer certaines.

Bonne idée de calculer la longueur moyenne de mon trajet. Je suis partante pour mettre des probas même si je n'y ai pas encore réfléchi. Problème : il faut modéliser le comportement aléatoire de la proie avant de faire quoi que ce soit sinon difficile de conclure. Cela vaut peut-être la peine de trouver la plus petite valeur de d avant, on n'en est plus si loin.

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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 23 Juil 2021, 17:17

Pour être plus explicite, on peut peut-être repousser la proie plus loin pendant la deuxième étape et/ou essayer de la rattraper plus loin pendant la quatrième étape en assumant le fait qu'elle peut sournoisement changer de branche dans notre dos.

Si vous n'avez pas envie de faire les calculs, vous pouvez toujours essayer de faire une conjecture sur la plus petite valeur de d. L'enchere sera adjugée à la valeur la plus proche qui reste tout de même possible à obtenir ;-)

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 23 Juil 2021, 20:15

Ne donne pas trop d'indices , je regarde toujours à mes temps perdus :frime:

Imod

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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 24 Juil 2021, 13:01

Pour ne pas te laisser seule , voilà comment je vois les choses :

Image

Le point bleu est une variable d'ajustement , les points noirs des points d'arrêt , la ligne noire ta trajectoire dans les différents couloirs et les pointillés rouges les vaines tentatives de la proie pour sortir du couloir B .

On est entre 1/5 et 1/6 , après il faut calculer :?

Imod

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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 24 Juil 2021, 14:36

Ah ben merci Imod, c'est vrai que je commence à me sentir seule à monter la garde au point O ! Voilà une bonne idée même s'il y a encore des petits détails à améliorer.

Je vais effectivement poursuivre la proie entre 2 couloirs au cas où elle me passe dans le dos. Quand est-ce qu'on peut la rattraper ? Si les hauteurs successives de tes triangles sont strictement décroissantes quand tu te lances dans cette stratégie.

C'est vrai qu'il faut faire quelques calculs mais ils ne sont pas si compliqués qu'ils en ont l'air. Celui nécessitant le plus de connaissance mathématiques était le calcul de la limite de la suite déjà vu précédemment.

Toutes les idées intéressantes sont sorties, il n'y a plus qu'à les ranger et conclure.

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 25 Juil 2021, 19:31

Je vais faire comme le petit potier de Pierre Perret :)

Image

Mais non je ne suis pas pénible :twisted:

Imod

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Re: Encore des trajectoires...

par Vassillia » 25 Juil 2021, 23:00

Euh, comment dire, je viens d'écouter le petit potier de Pierre Perret, je ne connaissais pas.
Le texte est finement ciselé mais je n'ai pas tout à fait l'impression que la persévérance admirable de ses messieurs ait beaucoup de rapport avec les mathématiques :rouge:

Autant j'avais compris le premier dessin, autant là je n'ai pas trop compris mais apparemment on se rapproche, doucement mais surement, c'est ce qui compte.
Je peux te donner des éléments de réponses voir la réponse si tu veux mais je pense vraiment que tu devrai essayer de structurer en étapes comme je l'ai suggéré plus haut sinon tu ne vas jamais t'en sortir par la méthode empirique.

Tu n'es pas du tout pénible, tu es celui qui s’investit le plus dans l'exercice pour le moment, si je ne meure pas de faim, ce sera grâce à toi :ange:

Imod
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Re: Encore des trajectoires...

par Imod » 26 Juil 2021, 13:27

J'ai du mal à suivre les conseils , je préfère me planter tout seul et corriger ce qui ne va pas , quitte à relire les conseils que j'avais négligé . Je reste sur mes petits dessins avec un cas qui me semble limite .

Image

J'aime bien déguster ces petits problèmes en prenant mon temps même si j'en connais que ça agace :D

Imod

 

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