Encore des découpes de tarte !

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
alben
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Encore des découpes de tarte !

par alben » 26 Nov 2006, 20:08

Bonjour à tous,
Cette fois ci on pose n cerises sur le bord du gateau (irrégulièrement) et on partage en allant d'une cerise à l'autre. On fait toutes les découpes possibles
Combien de découpes ? Ca c'est pas difficile :we:
Combien de parts ? On peut calculer pour n=1,2,3,4 et deviner pour 5
On fait l'hypothèse que les points d'intersection à l'intérieur ne concerne jamais plus de deux coups de couteau.



Patastronch
Membre Irrationnel
Messages: 1345
Enregistré le: 23 Aoû 2005, 01:53

par Patastronch » 28 Nov 2006, 18:13

Si je ne m'abuse ce probleme n'est pas encore résolu pour le cas de n si on complexifie legerement le probleme.

Le probleme se résume à trouver le nombre minimal (ce qui reviens a placer les sommets de maniere optimal ou de considérer que les aretes puissent etre courbe, alros que dans le probleme proposé avec les cerises les sommets sont fixés et les aretes droite) de points d'intersections (croisement de 2 aretes) dans un graphe complet d'ordre n (n sommets).

Pour revenir au probleme initial :

J'appele longueur d'une arete le nombre de cérises minimal séparant les deux cerises jointes.

Ainsi on a n aretes de longeur 0, n aretes de longeur 1, n aretes de longueur 2 ... jusqu'a n/2 aretes de longueur n/2-2 si n est pair ou n aretes de longueur (n-1)/2-2 si n est impair. (pour n>=4)

Pour les cas ou n est impair (cas qui nous interesse ici) :

Chaque arete de longueur L (pour L>0) croise L*(n-2-L) aretes .
Chaque point d'intersection est compté deux fois.
On a donc au total (sauf erreur de raisonnement de ma part) :

(pour n>4 et n impair)

J'ai un peu la flem de reduire l'expression (j'ai pasde stylo a porté de main) mais c'est assez facile d'enlever la somme.

Pourl es cas impairs on suit presque le meme raisonnement (pareil une flem incomensurableme prends quand j'ai pas de stylo a coté).

Si personne ne se risque a finir ce raisonnement jel e ferai ce soir ou plus tard quand j'aurais de quoi écrire sur une feuille de papier (mentalement j'ai du mal).

Si vous voyez une faille dans mon raisonement hésitez pas a cracher dessus je l'ai fait a la va vite :)

 

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