Déterminer un n_uplet

[anthony_unac]

Bonjour,
Le défi du jour consiste à déterminer un n_uplet tel que : et ou désigne un chiffre premier

[zygomatique]

salut

LaTeX c'est beau ... mais parler français aussi ...

soit n un entier dont les chiffres sont à valeurs dans {2, 3, 5, 7}.
déterminer les entiers n égaux au produit de leur chiffres.

[Ben314]

Vu qu'un nombre N à n+1 chiffre (pour reprendre tes notations) est au moins égal à10^n et que le produit de n+1 chiffres de l'ensemble {2,3,5,7} est au plus égal à 7^(n+1), ça donne immédiatement une borne supérieure pour n et il n'y a qu'un nombre fini "d'essais" à faire.
Aprés, on peut effectivement essayer de trouver d'autres arguments (par exemple le fait qu'on ne peut utiliser un 2 et un 5 sinon le produit se termine par 0 ou de regarder modulo 9 ce que donne l'équation ou... d'autres trucs), pour faire diminuer le nombre d'essais à faire, mais a mon sens, c'est moyennement drôle.

[anthony_unac]

Tout ce que vous me dites là est correct et j'ajouterai qu'il existe précisément quatre 1_uplet et zéro couplet et zéro triplet solutions

[anthony_unac]

Mis à part les quatre 1_uplet solutions, personne n'a trouvé de solution ?

[nodgim]

Je croyais que Ben avait répondu, non ?
Le produit des chiffres d'un nombre est toujours plus petit que ce nombre, sauf si ce nombre ne comporte qu'un chiffre.

[anthony_unac]

Au temps pour moi, c'est mieux ainsi :
et ou désigne un chiffre premier

[anthony_unac]

Je propose avec cette nouvelle donne le 4_uplet suivant : (7;7;3;5)

[nodgim]

Tu n'en as pas d'autre.
Avec le 2 représenté au max 2 fois, le 3 : 3 fois, le 5 : 6 fois et le 7 : 12 fois, et en tenant compte que 2 et 5 ne sont pas présents ensemble, il n'y a au max que 468 essais à faire, et en réalité beaucoup moins.

[anthony_unac]

Non je n'en ai pas d'autres et je suis tombé sur celui ci un peu par hasard en essayant à tâton sans programme ou autre. J'ai très vite compris que mélanger du 2 et du 5 ne pouvait rien donner de bon et après c'est plus de la chance qu'autre chose.