Conserve la somme et l'inverse

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 17:56

Oui, comme je t'ai dit f(nx)=nf(x) pour tout entier n fonctionne encore, sauf qu'ici au lieu de prendre x dans R , on se restreint à N. Donc au final combien a-t-on de morphismes? (et de bijectifs? :lol3: )



benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 18:14

Bé désolé , mais je vois pas trop de quoi tu parle :hein:

Est-ce que j'ai résolu l'exercice ?? Si c'est le cas, je n'ai trouvé qu'une seule fonction.

On parle bien sur de morphisme pour la structure de groupe de Z/nZ ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 18:40

Là je ne comprends pas.

Ok, tu as prouvé que les fonctions vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) de Z dans Z/nz vérifiaient f(n)=f(1)n, mais f(1) c'est quoi? C'est fixé? C'est arbitraire? Si tu devais me donner l'expression d'une fonction qui serait solution, ce serait quoi alors?

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 18:56

Nightmare a écrit:Là je ne comprends pas.

Ok, tu as prouvé que les fonctions vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) de Z dans Z/nz vérifiaient f(n)=f(1)n, mais f(1) c'est quoi? C'est fixé? C'est arbitraire? Si tu devais me donner l'expression d'une fonction qui serait solution, ce serait quoi alors?


Euh , ben oui f(1) est dans Z/nZ donc on a n solutions possibles ... on s'est mal compris je crois :zen:
Pour ta question "gratuite" je dirais : f est un endomorphisme donc un isomorphisme ssi Ker f= 0 ssi f(x)=0 => x=0 et donc je serais tenté de dire qu'il n'existe pas d'isomorphisme de groupes (a part pour f(1)=0)de Z dans Z/nZ puisque pour x=n f(1)n=0 et pourtant n ne fait pas 0. (Cela me parait logique aussi )

Bon, sinon je vais regarder la deuxième, et il me semble qu'on va suivre quasi-le même raisonnement , en différent :ptdr:

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 19:03

Euh , ben oui f(1) est dans Z/nZ donc on a n solutions possibles ... on s'est mal compris je crois


C'était le "je n'ai trouvé qu'une seule fonction" qui me semblait bizarre.

Sinon pour la suite ce n'est pas bon,

premièrement, f n'est pas un endomorphisme, puisque le groupe de départ n'est pas le même à l'arrivée.

Ensuite, quand est-ce que f(x)=0 => x=0 ? C'est à approfondir. Distinguer par exemple déjà le cas où n est premier (auquel cas Z/nZ est ...)

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 19:26

Nightmare a écrit:C'était le "je n'ai trouvé qu'une seule fonction" qui me semblait bizarre.

Sinon pour la suite ce n'est pas bon,

premièrement, f n'est pas un endomorphisme, puisque le groupe de départ n'est pas le même à l'arrivée.

Ensuite, quand est-ce que f(x)=0 => x=0 ? C'est à approfondir. Distinguer par exemple déjà le cas où n est premier (auquel cas Z/nZ est ...)


Remplace Endomorphisme par Morphisme et Isomorphisme par Morphisme Bijectif :)
Sinon, le malentendu c'est que je trouvais qu'une famille de solution, que je dit "une seule".

Sinon, si n est premier Z/nZ est un coprs, donc intègre donc f(1)x=0 => x=0[n] ou f(1)=0 [n] et donc notre morphisme n'est pas bijectif quelle que soit la valeur de f(1)

Si maintenant n n'est pas premier, on a plus l'intégrité , et j'ai envie de dire que ce débat est stupide puisque de toute façon, f(1)x quand f(1) n'est pas nul vaut 0 mod n quand x vaut 0 mod n , on a donc jamais de bijection.

PS. Il y a d'innombrables fautes dans mes posts précédents, a un moment j'utilise n en modulo et dans les expressions, je dit aussi que un morphisme est bijectif ssi il est injectif , mais je voulais dire Bijectif => injectif etc . . .

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 19:40

benekire2 a écrit:Remplace Endomorphisme par Morphisme et Isomorphisme par Morphisme Bijectif :)


Non isomorphisme ça m'allait (qui est bien un morphisme bijectif)

Sinon, si n est premier Z/nZ est un coprs, donc intègre donc f(1)x=0 => x=0[n] ou f(1)=0 [n] et donc notre morphisme n'est pas bijectif quelle que soit la valeur de f(1)


Alors déjà attention, pour le moment, on ne regarde que le noyau, donc que l'injectivité ! Donc je suppose que tu voulais dire que notre morphisme n'était pas injectif quelle que soit la valeur de f(1) mais dans ce cas là, c'est un peu le contraire de ce que tu viens d'écrire non? Tu l'as dit toi même on a injectivité si le noyau est réduit à {0} et c'est a priori bien le cas dès que f(1) est non nul non?

Si maintenant n n'est pas premier, on a plus l'intégrité , et j'ai envie de dire que ce débat est stupide puisque de toute façon, f(1)x quand f(1) n'est pas nul vaut 0 mod n quand x vaut 0 mod n , on a donc jamais de bijection.


La c'est pareil, ok f(1)x vaut 0 quand x=0, ça c'est vrai même pour n'importe quel morphisme (0 est toujours dans le noyau !), nous ce qu'on voudrait savoir, c'est pour quels f(1) 0 va-t-il être le seul élément du noyau?

PS. Il y a d'innombrables fautes dans mes posts précédents, a un moment j'utilise n en modulo et dans les expressions, je dit aussi que un morphisme est bijectif ssi il est injectif , mais je voulais dire Bijectif => injectif etc . . .


Ben pourquoi un morphisme serait bijectif si et seulement s'il est injectif? C'est pas vrai ce truc là !

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 19:41

Nightmare a écrit:Ben pourquoi un morphisme serait bijectif si et seulement s'il est injectif? C'est pas vrai ce truc là !


Il n'a pas dit qu'une application bijective impliquait qu'elle soit injective, plutôt ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 19:43

oups oui j'ai arrêté de lire la phrase à "bijectif ssi il est injectif" alors qu'il se corrigeait juste après. Désolé béné. Donc effectivement, il faut vérifier l'injectivité pour s'assurer de la bijectivité, puis ensuite regarder la surjectivité.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 19:49

Nightmare, Oui , je confond souvent les terminologies mophisme sur les mêmes groupes > endomorphisme , morphisme bijectif = isomorphisme , endomorphisme bijectif = automorphisme .


Sinon, pour la dernière remarque j'ai corrigé justement cette erreur , j'ai dit que dans un précédent message j'avais écrit bijectif <=> injectif et là je viens de dire qu'il faut le remplacer en bijectif => injectif.

Sinon, pour moi on a un morphisme de Z dans Z/nZ ainsi même si x=0[n] x peut très bien faire n , par exemple Soit f : Z --> Z/5Z x --> 4x et bien f(0)=0 et f(5)=0 ainsi f n'est pas bijectif ce qui ne semble pas en accord avec ce que tu dit. Tu semble considérer que l'on va de Z/nZ dans lui même ??

Ce que j'ai fais , c'est juste montrer que les morphismes ne sont pas injectifs donc pas bijectifs.

Et je trouve que ma preuve ( celle que je répète depuis deux messages ) qui dit que f(1)x=0 => x=0 n'est jamais vérifié puisque x=n vérifie ça ; tient toujours ...

PS. Ce qui me laisse penser que tu part de Z/nZ vers Z/nZ c'est que tu me dit que : "0 est dnas le noyau" (évidemment :we: ) alors que je dit mieux ( de mon point de vue mais pas du tient ) que nZ est dans le noyau.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 20:03

Et je trouve que ma preuve ( celle que je répète depuis deux messages ) qui dit que f(1)x=0 => x=0 n'est jamais vérifié puisque x=n vérifie ça ; tient toujours ...

PS. Ce qui me laisse penser que tu part de Z/nZ vers Z/nZ c'est que tu me dit que : "0 est dnas le noyau" (évidemment :we: ) alors que je dit mieux ( de mon point de vue mais pas du tient ) que nZ est dans le noyau.


Non non j'étais bien dans Z->Z/nZ mais j'ai eu du mal à comprendre ce que tu essayais de me dire. Maintenant que tu me dis clairement "le noyau contient nZ" (mieux, le noyau, c'est exactement nZ ! (ou Z tout entier si on prend le morphisme nul) alors je te réponds : C'est correct !

Un morphisme de Z->Z/nZ n'est jamais injectif. En fait, sans faire tout ça, une justification beaucoup plus simple aurait été simplement de parler de ... cardinal ;)

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 20:11

Pour Z/nZ -> Z/mZ déjà il va falloir distinguer selon comment n et m sont liés.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 20:12

Nightmare a écrit:Non non j'étais bien dans Z->Z/nZ mais j'ai eu du mal à comprendre ce que tu essayais de me dire. Maintenant que tu me dis clairement "le noyau contient nZ" (mieux, le noyau, c'est exactement nZ ! (ou Z tout entier si on prend le morphisme nul) alors je te réponds : C'est correct !

Un morphisme de Z->Z/nZ n'est jamais injectif. En fait, sans faire tout ça, une justification beaucoup plus simple aurait été simplement de parler de ... cardinal ;)


Ouf , tout ça pour ça. Be ma preuve est pas tellement longue ( une ligne tassée) mais en parlant de cardinal en effet, c'est chaud de mettre une infinité dans n tirroirs sans qu'un tirroir contienne plusieurs éléments .

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 20:13

Nightmare a écrit:Pour Z/nZ -> Z/mZ déjà il va falloir distinguer selon comment n et m sont liés.


Qu'entend tu par lier ? n=m , nm ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 20:16

Par exemple, des morphismes additifs de Z/2Z dans Z/3Z on en a beaucoup?

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 20:22

On en a aucun je crois , je ferrais quelques test / conjectures ce soir .

Sympa ces petites équations, je connaissais pas du tout :happy3:

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 20:24

benekire2 a écrit:Ouf , tout ça pour ça. Be ma preuve est pas tellement longue ( une ligne tassée)


Attention à ne pas lier la longueur d'une preuve à sa difficulté. La preuve de d'Alembert-Gauss par Liouville est la plus courte, mais je suis pas certain qu'on puisse la qualifier de "plus facile que les autres".

En fait, ma remarque était plus pour dire que je pense bien que si ce genre de question avait été posée à l'oral dans cet ordre (c'est à dire déterminer les morphismes puis ceux qui sont bijectifs), il aurait été beaucoup mieux vu de répondre à la négative en invoquant le cardinal que comme tu l'as fait, pour la bonne raison qu'il vaut toujours mieux montrer qu'un truc est faux en utilisant le minimum d'hypothèse (en l'occurrence, la preuve par le cardinal n'utilise pas le fait que notre f soit un morphisme) au cas où on décide d'élargir la question !.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 20:25

benekire2 a écrit:On en a aucun je crois , je ferrais quelques test / conjectures ce soir .


On a quand même le morphisme identiquement nul :lol3: Maintenant, c'est le seul, pourquoi? Encore une fois, Z/nZ étant cyclique, tout ne dépend que de l'image d'un générateur.

benekire2
Membre Transcendant
Messages: 4685
Enregistré le: 08 Avr 2009, 17:39

par benekire2 » 11 Déc 2010, 20:41

Je clarifie certaines choses , arrête moi à la première bêtise


, Z/nZ est cyclique, ici pour l'addition (Comme Z , bien que je crois que le terme soit monogène quand on est en version infinie) ainsi Z/nZ={a,a+1,...,a+n-1} pour tout a de Z/nZ. a est un générateur de Z/nZ.

Tu affirme que l'image d'un seul générateur suffit a identifier le morphisme, j'écris donc f(n)=nf(1) , et en fait on peut écrire des relations similaires avec par exemple 2 ou 3 à la place de 1 dans f(1) ??

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 18:30

par Nightmare » 11 Déc 2010, 21:02

Si tu veux mettre 2 à la place de 1, dans ce cas c'est f(2n)=nf(2) !

Sinon, toutes les classes ne sont pas génératrices de Z/nZ. Par exemple la classe de 2 dans Z/4Z, a priori, le sous-groupe <2> ben c'est {0,2} qui n'est pas Z/4Z tout entier. Par contre, 1 est toujours générateur puisque tout k dans Z/nZ s'écrit bien 1+1+...+1 k fois.

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 4 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite