Application qui conserve les triangles rectangles

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Nightmare
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Application qui conserve les triangles rectangles

par Nightmare » 09 Déc 2010, 19:50

Hello,

j'ai déjà posté sur le forum le problème de savoir quelles sont les applications (quelconques) du plan affine qui conservent la distance un. La réponse était les isométries.

Dans le même genre : Quelles sont les applications qui envoient tout triangle ABC rectangle en A sur f(A)f(B)f(C) rectangle en f(A) ?



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Ben314
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par Ben314 » 09 Déc 2010, 19:54

Question :
Est ce que A=B=C est considéré comme rectangle ? (plus ou moins équivalent à : "suppose t'on f bijective ?")
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Imod
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par Imod » 09 Déc 2010, 20:02

Si f est bijective c'est une similitude . Sinon ?

Imod

Nightmare
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par Nightmare » 09 Déc 2010, 20:05

Ben > Hum, non, on peut considérer l'hypothèse sur les "vrais" triangles rectangles seulement. Cela dit, ça ne change rien au résultat :happy3:

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par Imod » 09 Déc 2010, 20:11

Dans le même ordre d'idée ( si je parasite on me le dit et j'ouvre un autre fil ) :

1°) Quelles bijections du plan conservent l'alignement ?
2°) Quelles bijections du plan concervent la cocyclicité ?
3°) Quelles bijections du plan transforment quatre points alignés ou cocycliques en quatre points alignés ou cocycliques .
4°) Quelles bijections du plan conservent le birapport de quatre points distincts .

Imod

Nightmare
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par Nightmare » 09 Déc 2010, 20:34

Au contraire, je comptais justement demander d'autre problèmes du même type une fois celui-ci résolu :

Que j'ai en tête :

1) Bijections affine (ce sont les seules de mémoire)

2) J'ai les homographies et les homographies "conjuguées" (je ne sais pas comment ça s'appelle, h o conj où h est une homographie et conj la conjuguaison), a priori je n'en vois pas d'autres "simples".

Je vais regarder ce 2) de plus près.

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par Imod » 10 Déc 2010, 00:54

Il faut quand même faire attention qu'une homographie n'est pas définie sur entier ou qu'il faut alors lui ajouter un point à l'infini mais les deux situations sont intéressantes sur ou sur

Pour le 1°) c'est bien uniquement les fonctions affines mais la démonstration n'est pas si simple .

Imod

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Ben314
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par Ben314 » 10 Déc 2010, 01:01

Nightmare a écrit:Ben > Hum, non, on peut considérer l'hypothèse sur les "vrais" triangles rectangles seulement. Cela dit, ça ne change rien au résultat :happy3:
Ah, si : si tu accepte A=B=C comme triangle rectangle, alors toute application constante vérifie ton truc (alors que, sinon, il n'y a effectivement que les similitudes)
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par Ben314 » 10 Déc 2010, 01:05

Nightmare a écrit:...je ne sais pas comment ça s'appelle, h o conj où h est une homographie et conj la conjuguaison...
Je ne suis pas sûr qu'il y ait un nom pour ces applications.
Par contre la réunion des homographies et des h o conj donne le "groupe circulaire" (qui agit sur P1(C))

Ensuite, les 3 dernières questions de Imod sont des "classiques" concerant justement le groupe circulaire (ainsi que, si on se restreint à C au lieu de P1(C), le sous groupe constitué des éléments du groupe circulaire qui laissent fixe oo qui n'est autre que le groupe des ...)

Enfin, concernant le 1) de Imod, il me semble que certains l'appelle "théorème fondamental de la géométrie" et la preuve est effectivement trés longue et utilise à la fin le fait que le seul morphisme de corps de R->R est l'identité
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par Nightmare » 10 Déc 2010, 01:21

Ben314 a écrit:Ah, si : si tu accepte A=B=C comme triangle rectangle, alors toute application constante vérifie ton truc (alors que, sinon, il n'y a effectivement que les similitudes)


Bien vu ! Enfin, ça ne change rien au fond du problème alors :lol3:

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par Imod » 10 Déc 2010, 01:27

Encore faudrait-il montrer qu'il n'y a que les similitudes et les constantes ce qui n'est pas évident !

Imod

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par Ben314 » 10 Déc 2010, 01:31

Imod a écrit:Encore faudrait-il montrer qu'il n'y a que les similitudes et les constantes ce qui n'est pas évident !

Imod
Je t'avoue que, n'ayant pas envie de m'emmerder, j'utilise alègrement le fait que toute bijection qui concerve l'alignement est affine et avec ça, c'est pas super dur...
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par Imod » 10 Déc 2010, 01:37

Oui mais si on enlève bijection ?

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par Nightmare » 10 Déc 2010, 01:39

On pourrait montrer qu'elle est bijective, ou sinon montrer plus particulièrement qu'elle est affine ... Je suis passé par ce deuxième point

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par Ben314 » 10 Déc 2010, 01:46

Imod a écrit:Oui mais si on enlève bijection ?

Imod
Dans ce cas, il me semble qu'il faut absolument avoir une définition carrée de ce que l'on va appeler ou pas un triangle rectangle (A=B=C ? A=B\=C ? ...) et... c'était justement la question que je posait dans mon premier post...

Par exemple, si B\=C et f(B)=f(C)=P alors tout point A sur le cercle de diamètre [BC] est tel que ABC est rectangle en A donc f(A),P,P est rectangle en f(A) et je pense que, raisonablement, cela devrait impliquer que f(A)=P, mais comme j'ai pas de définition "carrée", ben en fait j'en sais rien...

Par contre, il me semble que, si on décide que le seul triangle rectangle A,P,P (rectangle en A) est celui où A=P, il me semble que l'on montre trés façilement que, si f n'est pas injective, alors elle est constante.

Par contre (bis), effectivement, ce que je n'ai pas regardé, c'est si la surjectivité était évidente...
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