[MPSI] Aritmétique

[Euler07]

Bonsoir

[girdav]

Bonjour,
il faut en fait vérifier que pour tous entiers relatifs et on a que est divisible par , , , , , , et .

[Ben314]

Salut,
C'est une simple application du petit théorème de fermat :
On sait que, si p est premier et a non divisible par p alors a^(p-1)=1 modulo p.
On en déduit que, pour a quelconque (y compris divisible par p) et k dans N, a^(1+k(p-1))=a modulo p.
Donc, si p est tel que 1+k(p-1)=61 pour un certain k alors x^61y-xy^61=xy-xy=0 modulo p.
Or, p est tel que 1+k(p-1)=61 ssi p-1 divise 60, c'est à dire p-1=1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, ou 60
donc p=2,3,5,7,11,13,31 ou 61.