[MPSI] Logarithme de y en base b

[Zweig]

Salut,

On se fixe et . On veut montrer qu'il existe une unique réel vérifiant : .

1. On pose . Montrer que existe.
   
2. Démontrer l'équivalence suivante :

J'attends des réponses n'utilisant pas d'analyse (étude de fonction, limite etc.) ainsi que les fonctions exponentielles et logarithme. Les seuls outils autorisés sont les "inégalités classiques", la théorème de la borne supérieure et les propriétés calculatoire de la fonction exponentielle réelle :

[Kikoo <3 Bieber]

Hello Zweig


Première ébauche :

On définit la fonction puissance x de base a comme étant :


Cette fonction est donc strictement croissante, pour tout a supérieur strictement à 1.

Ici on considère la fonction puissance de base b.
On souhaite montrer l'existence d'un plus petit majorant pour l'ensemble .
Nous définissons alors une fonction f de dans telle que et nous avons donc l'ensemble A équivalent à :

Comme est strictement croissante, il existe un réel x de A tel que pour tout w de A.
On a donc .

PS : ah oui non, j'ai montré qu'il existe un plus grand élément mais pas un supremum...
Et puis ma rédaction doit être pas terrible ^^
Comment on fait ?

[Zweig]

Bien entendu, il va de soi que les fonctions logarithme et exponentielle sont supposées inconnues...

[Kikoo <3 Bieber]

Ah ben zut :) J'avais cette idée en tête et ne me suis pas aperçu avoir utilisé ces fonctions dès le début !

[Nightmare]

Quelle définition de b^x on prend sans connaissance de l'exp ou du log?

[Kikoo <3 Bieber]

Quelle définition de b^x on prend sans connaissance de l'exp ou du log?

Bonsoir Nightmare

Je ne connais pas de définition autre que celle qui prend en compte la fonction exponentielle. Je l'avais justement abordée postérieurement aux logarithmes.

[Zweig]

On peut prendre la définition suivante :



L'exercice que je propose fait suite à un exercice où on s'occupe, après avoir montré l'existence et l'unicité de la racine n-ième, via un raisonnement impliquant la borne sup d'un certain ensemble, de donner un sens à la fonction puissance d'exposant rationnel puis réel, toujours par des raisonnements analogues. On y établit aussi les propriétés calculatoires.

Dans le cas de mon exercice, on considérera comme connu les propriétés calculatoires de la fonction puissance réelle, à savoir

[Zweig]

On peut prendre la définition suivante :



L'exercice que je propose fait suite à un exercice où on s'occupe, après avoir montré l'existence et l'unicité de la racine n-ième, via un raisonnement impliquant la borne sup d'un certain ensemble, de donner un sens à la fonction puissance d'exposant rationnel puis réel, toujours par des raisonnements analogues. On y établit aussi les propriétés calculatoires.

Dans le cas de mon exercice, on considérera comme connu les propriétés calculatoires de la fonction puissance réelle, à savoir

[ffpower]

Il suffit de justifier que x->b^x est strictement croissante et tend vers 0 en -infini et vers +infini en +infini..ce qui n'est pas tres dur

[Zweig]

Bon, je vais détailler un peu plus car en fait vos réponses, bien que correctes, ne sont pas ce que j'attendais. Le défi que je propose est tiré d'un exercice guidé à plusieurs questions, j'en ai juste gardé une pour en faire un défi. Du coup, on perd la manière d'aborder le problème et j'aurai dû être plus précis dès le départ.

J'attends des réponses n'utilisant pas d'analyse (étude de fonction, limite etc.) ainsi que les fonctions exponentielles et logarithme. Les seuls outils autorisés sont les "inégalités classiques", la théorème de la borne supérieure et les propriétés calculatoire de la fonction exponentielle réelle :

[Zweig]

Up ! :petard: