Arithmétique bien hard

[poiuytreza]

Bonjour,
si vous êtes courageux, voici un exo d'arithmétique très difficile (ou alors il y a quelque chose qui m'a échappé) :

Pour tout , on pose :
, avec et premiers entre eux.

Motrer qu'il existe une infinité de tels que ne soit pas une puissance d'un nombre premier.

[Ben314]

En cherchant quelque pistes, je me suis posé un problème que je ne sais pas résoudre... (et je ne suis pas sûr que la réponse soit utile pour le p.b.)

Il est clair que, pour premier, on a (modulo ) :

Mais, en procédant à quelque essai, il semblerait que l'on ait, pour :
modulo
(évidement, ici, les inverses sont calculés modulo )

Quelqu'un aurait il une preuve de ce résultat ? et une idée pour ?

Evidement, le lien avec le problème de départ est que la première formule montre que, si est une puissance d'un nombre premier, ce nombre premier est forcément . Si la deuxième est vrai, cela montrerais que l'exposant est au moins 2. Si la troisième (i.e avec est calculable, c'est peut-être utile...)

[poiuytreza]

Pour , on a bien
Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Wolstenholme, mais je ne me souviens plus de la démonstration. Il me semble qu'il n'y ait rien qui y ressemble avec (entout cas ça marche ni pour 5, ni 7, ni 11, ni 13)
Sinon, c'est effectivement util pour résoudre l'exo, mais on peut se contenter de la forme faible avec

[Ben314]

Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Wolstenholme

Merci...
Si il y en a que ça interesse, une preuve élémentaire ici :
http://math.uci.edu/~tchoi/notes/wolstenholme.pdf
et une moins élémentaire, mais trés jolie là :
http://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme's_theorem

[Ben314]

Tant que j'y pense ton :

...entout cas ça marche ni pour 5, ni 7, ni 11, ni 13

est plutôt bon signe, car si la somme est congrue à 0 modulo p² et à autre chose que 0 ou p² modulo p^3 pour un nombre infini de p premiers, on a gagné...

Par contre, en étudiant les preuves, je vois pas trop comment les modifier pour obtenir quelque chose pour p^3 (peut-être celle de wikipédia que j'ai pas fini de "digérer"...)