Une énigme géométrique que j'aime bien (mais salissante)

par **emcee** » 26 Fév 2009, 03:01

Bonjour,

je me rappelle une petite énigme sympa, dont la solution est triviale mais loin d'être évidente : on dispose d'un beau mur tout blanc tout propre de taille habituelle, disons de 3m de long sur 2 de haut, et d'un seau de peinture noire. Comme la tentation est grande, on envoie toute la peinture sur le mur, ce qui fait une belle tache completement aléatoire.

Montrez qu'il existe au moins deux points de même couleur distants d'exactement 1 mètre l'un de l'autre.

par **Imod** » 26 Fév 2009, 09:08

Bonjour .

Je ne vois pas trop où est le problème , il suffit de considérer sur le mur les sommets d'un triangle équilatéral de côté 1 , trois sommets pour deux couleurs : le tour est joué :zen:

Imod

par **ffpower** » 26 Fév 2009, 10:13

Autre version:Le mur est cette fois constitué de 3 couleurs.S il est suffisament grand(flemme de calculer explicitement une longueur qui convient,mais disons que 10m*10m ca doit marcher),montrer de meme qu il existe 2 points de la meme couleur distants d exactement 1m

par **Imod** » 26 Fév 2009, 11:30

En effet c'est un peu plus amusant .

Il me semble que Tize avait proposé un exercice du même style à la grande époque des défis ( nostalgie quand tu nous tient ) .

On obtient le résultat par l'absurde ( j'espère que leon ne traîne pas dans le coin :we: ) . En accolant deux triangles équilatéraux de côté 1m que l'on fait tourner on obtient un cercle de rayon 2m unicolore et une belle contradiction :zen:

Imod

par **ffpower** » 26 Fév 2009, 11:52

En effet,c est bien ca.Bon doit y avoir facilement moyen de se passer de l absurde,mais laissons ca a leon^^.On peut maintenant etudier le probleme avec 4 couleurs,mais la je crois que c est un probleme non résolu(a moins que ce soit 5 couleurs je sais plus)

par **Imod** » 26 Fév 2009, 12:24

Il me semble en effet que le nombre de couleurs nécessaire doit être compris entre 4 et 7 ce qui laisse pas mal de marge pour les amateurs de problèmes ouverts .

Imod

par **emcee** » 26 Fév 2009, 17:39

Bon, OK les 2 points de même couleur c'était facile.

Plus dur = montrer qu'il existe un triangle équilatéral dont la longueur du côté en cm est entière, dont les 3 points sont de la même couleur.

-- "plus dur", enfin, quand on a compris le truc ça vient vite ;-) --

par **Imod** » 26 Fév 2009, 18:40

Toujours par l'absurde ( :cry:

) le coloriage d'un hexagone régulier de rayon 1 et de son centre ne peut se faire que de la façon suivante et on a alors un gros problème avec les points noirs :doh:

Imod

Edit : en me relisant je me suis rendu compte que ça ne marche pas , j'ai considéré des triangles de côtés

:marteau:

par **Imod** » 27 Fév 2009, 12:38

J'ai réussi à montrer facilement qu'on ne peut pas colorier un triangle équilatéral de côté 4 en deux couleurs de façon à ce qu'aucun triangle équilatéral n'ait ses trois sommets de même couleur . Malheureusement il faut affiner un peu car le triangle ne "tient" pas dans le mur :cry:

Imod

par **Imod** » 27 Fév 2009, 19:55

Puisque l'auteur ne se manifeste pas , pour un mur assez grand ...

En supposant en toute généralité que les points 1 et 2 sont rouges et 6 bleu alors dans l'ordre : 3B ; 8R ; 12R ; 9B ; 11B ; 15R ; 10B ; 7R ; 13R ; 14B ; 4B et 5 ne peut être colorié :cry:

Imod

par **emcee** » 28 Fév 2009, 16:46

mea culpa -- effectivement ça ne tient pas dans le mur !
mais l'idée est bien de faire un triangle équi avec un autre inscrit, dont les sommets sont les milieux des segments du premier (ouf !)

par **leon1789** » 03 Mar 2009, 20:17

ffpower a écrit:Autre version:Le mur est cette fois constitué de 3 couleurs.S il est suffisamment grand, montrer de meme qu il existe 2 points de la meme couleur distants d exactement 1m

Imod a écrit:On obtient le résultat par l'absurde ( j'espère que leon ne traîne pas dans le coin :we: ) . En accolant deux triangles équilatéraux de côté 1m que l'on fait tourner on obtient un cercle de rayon 2m unicolore et une belle contradiction :zen:

:zen:

ffpower a écrit:En effet,c est bien ca.Bon doit y avoir facilement moyen de se passer de l absurde,mais laissons ca a leon^^.

:zen:

ben, j'ai pas compris la réponse d'Imod :doh: . Ton cercle, c'est vraiment un cercle ? ou un hexagone inscrit dans un cercle de diamètre 2m ? ou autre chose ?

par **ffpower** » 03 Mar 2009, 20:51

Eh bien,si la propriété n est pas vérifié,2 points de distance racine(3) seront forcément de la meme couleur(si on les appelle A et A' disons,on voit ca en placant B et C tels que ABC et A'BC soient equilatéraux de coté 1).Par suite,tout cercle de rayon racine(3) sera de couleur uniforme

par **Imod** » 03 Mar 2009, 20:53

C'est un vrai cercle , on fait tourner le point

autour de

:

Imod

par **ffpower** » 03 Mar 2009, 20:57

Sinon,pour l exo de trouver un triangle equilatéral de coté entier dont tous les sommets sont de meme couleur,je me demandais si on pouvais imposer que le coté du triangle soit de longueur 1

par **leon1789** » 03 Mar 2009, 20:59

Merci. (en +, imod passe du temps à faire des dessins ! :+:)
Les cotés des triangles sont de 1m, le rayon fait

m, et sur ce cercle il y a des points de même couleur distants de 1m. ok!

par **leon1789** » 03 Mar 2009, 21:23

Imod a écrit:On obtient le résultat par l'absurde ( j'espère que leon ne traîne pas dans le coin :we: ) . En accolant deux triangles équilatéraux de côté 1m que l'on fait tourner on obtient un cercle de rayon 2m unicolore et une belle contradiction :zen:

Ta méthode permet de construire deux points distants de 1m : on les trouve parmi (RV), (RB), (VB), (VM), (BM), (RV'), (RB'), (V'B'), (V'M'), (B'M'), (M'M) où les points V'B'M' sont les points VBM tournés de l'angle ad hoc pour que M'M soit de 1m.

Je n'appelle pas ça un truc absurde : si les 10 premiers couples sont bicolorés alors le dernier est monocoloré (de la couleur de R). :id:

Si c'était un vrai raisonnement par l'absurde, cela ne permettrait pas de réaliser un exemple. Or on peut mettre en branle cette stratégie de construction sur n'importe quelle image tricolorée, donc, pour moi, ce n'est pas réellement de l'absurde. :zen:

par **leon1789** » 03 Mar 2009, 21:34

Imod a écrit:On obtient le résultat par l'absurde ( j'espère que leon ne traîne pas dans le coin :we: ) . En accolant deux triangles équilatéraux de côté 1m que l'on fait tourner on obtient un cercle de rayon sqrt(3)m unicolore et une belle contradiction :zen:

Ta méthode permet de construire deux points distants de 1m : on les trouve parmi (RV), (RB), (VB), (VM), (BM), (RV'), (RB'), (V'B'), (V'M'), (B'M'), (M'M) où les points V'B'M' sont les points VBM tournés de l'angle ad hoc pour que M'M soit de 1m.

Je n'appelle pas ça un truc absurde : si les 10 premiers couples sont bicolorés alors le dernier est monocoloré (de la couleur de R). :id: La construction le prouve ainsi, non ?

Si c'était un vrai raisonnement par l'absurde, cela ne permettrait pas de réaliser un exemple. Or on peut mettre en branle cette stratégie de construction sur n'importe quelle image tricolorée, donc, pour moi, ce n'est pas réellement de l'absurde. :zen:

par **Imod** » 03 Mar 2009, 23:00

leon1789 a écrit:Si c'était un vrai raisonnement par l'absurde, cela ne permettrait pas de réaliser un exemple. Or on peut mettre en branle cette stratégie de construction sur n'importe quelle image tricolorée, donc, pour moi, ce n'est pas réellement de l'absurde. :zen:

Le contraire m'aurait étonné :we: ça me rappelle je ne sais plus quel mathématicien qui reprenait toutes les démonstrations faites sur les bases de l'analyse non-standard pour montrer son inutilité . Personnellement j'aime bien le raisonnement par l'absurde car il m'inspire parfois quelques petites idées mais on peut sans aucun doute s'en passer .

Imod

par **leon1789** » 04 Mar 2009, 11:05

Pour ne pas continuer à flooder le fil, je réponds ici http://maths-forum.com/showpost.php?p=539310&postcount=188

La dernière question est

ffpower a écrit:Sinon,pour l exo de trouver un triangle equilatéral de coté entier dont tous les sommets sont de meme couleur,je me demandais si on pouvais imposer que le coté du triangle soit de longueur 1

Une énigme géométrique que j'aime bien (mais salissante)

Une énigme géométrique que j'aime bien (mais salissante)

Qui est en ligne