Voici une inégalité très difficile que je ne suis pas arrivé à prouver ( mais je cherche encore ) :
Montrer que pour tous réels
Important : il est interdit d'utiliser l'identité miraculeuse
Bonne chance !
Inégalité vraiment hard
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Inégalité vraiment hard
par Olympus » 19 Juin 2010, 16:33
Bonjour !
Voici une inégalité très difficile que je ne suis pas arrivé à prouver ( mais je cherche encore ) :
Montrer que pour tous réels
:
 ^2 \geq 3 \bigsum_{cyc}a^3b)
.
Important : il est interdit d'utiliser l'identité miraculeuse^2 - 3 \bigsum_{cyc}a^3b = \frac{1}{2} \bigsum_{cyc}\left( a^2 + 2bc - ab - b^2 -ca \right)^2)
.
Bonne chance !
Voici une inégalité très difficile que je ne suis pas arrivé à prouver ( mais je cherche encore ) :
Montrer que pour tous réels
Important : il est interdit d'utiliser l'identité miraculeuse
Bonne chance !
par Olympus » 19 Juin 2010, 17:03
Doraki a écrit:Et on a le droit de faire quoi ?
Ben si tu peux prouver comment retrouver l'identité là, pas de problème ^^
par Olympus » 19 Juin 2010, 17:50
Trouvé avec une méthode viet ( que tu dois bien connaître Zweig, c'est une technique pour les inégalités cycliques de degré 4 ^^ ) .
^2 - 3 \bigsum_{cyc}a^3b \geq 0)
 + 3 \left( \bigsum_{cyc}a^2b^2 - \bigsum_{cyc}a^2bc \right) - 3 \left( \bigsum_{cyc} a^3b - \bigsum_{cyc}a^2bc \right) \geq 0)
On a les identités suivantes :
^2)
^2)
 = \frac{1}{3} \left( ab+bc+ca \right) \bigsum_{cyc} \left( a^2-b^2 \right) - \bigsum_{cyc}bc\left(a^2-b^2\right) = \frac{1}{3} \bigsum_{cyc}\left( a^2-b^2 \right) \left( ab+ac-2bc \right))
Donc notre inégalité devient équivalente à :
^2 - \bigsum_{cyc} \left( a^2 - b^2 \right) \left( ab+ac - 2 bc \right) + \frac{1}{2} \bigsum_{cyc} \left( ab+ac - 2bc \right) ^2 \geq 0)
=> Identité remarquable^2)
, d'où l'identité en haut 
On a les identités suivantes :
Donc notre inégalité devient équivalente à :
=> Identité remarquable
par poiuytreza » 19 Juin 2010, 17:57
En tout cas, à cause du cas d'égalité non trivial, aucune des inégalités habituelles ne peut marcher, donc la somme de carrés me paraît la seule méthode raisonnable. Après c'est sûr qu'il faut la trouver quand même...
par Olympus » 19 Juin 2010, 18:01
En fait, j'ai rien fait, juste appliqué la méthode d'un viet que j'ai trouvé par hasard : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=199301 .
Elle permet de torcher toute inégalité du type :
 \bigsum_{cyc} a^2bc \geq 0)
qui satisfait les conditions suivantes :
\geq p^2 + pg + g^2<br />\end{array}<br />\right.)
Donc tout le crédit revient à l'auteur de cette technique très puissante ( marche que pour les inégalités de degré 4, mais pour des inégalités plus grosses, cette technique servira toujours pour construire des petits lemmes ) ^^
Elle permet de torcher toute inégalité du type :
qui satisfait les conditions suivantes :
Donc tout le crédit revient à l'auteur de cette technique très puissante ( marche que pour les inégalités de degré 4, mais pour des inégalités plus grosses, cette technique servira toujours pour construire des petits lemmes ) ^^
par Despo » 20 Juin 2010, 02:46
Olympus a écrit:Bonjour !
Voici une inégalité très difficile que je ne suis pas arrivé à prouver ( mais je cherche encore ) :
Montrer que pour tous réels
Important : il est interdit d'utiliser l'identité miraculeuse
Bonne chance !
C'est laquel l'identité miraculeuse?
par Olympus » 20 Juin 2010, 13:44
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