A propos de la diversité des Alephs

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
grantstewart
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A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 19 Juil 2018, 12:32

Bonjour à tous. Un aspect des mathématiques me pose problème.

Comment la notion unique d'infini engendre-t-elle différents Alephs ?
Autrement dit, comment l'infini peut-il disposer de divers et multiples cardinaux ?
Est-ce parce qu'il existe différents ensembles infinis en mathématique ?

Cela n'a pas de sens dans mon esprit. Pouvez-vous éclaircir mon esprit au sujet des Alephs ?



beagle
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par beagle » 19 Juil 2018, 13:48

c'est exactement cela, il ya plusieurs infinis.

Avec IN, tu peux compter, dénombrer ton infini,
par exemple tu peux compter combien tu as de nombres pairs,
alors tu prononces 1 , 2,3,4,5,6,7,... à chaque fois que tu vois un nombre pair.
Tu peux aussi physiquement taper du doigt et battre la mesure à chaque fois que tu vois un nombre pair, comme tu pourrais appuyer sur une touche + puis + puis +
ou la touche suivant, suivant suivant, suivant.

Maintenant avec les entiers IN tu ne pourras pas compter IR, tu ne pourras pas compter les nombres réels entre 0 et 1,...tu pourras pas faire suivant , suivant suivant...c'est pas dénombrable.

beagle
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par beagle » 19 Juil 2018, 13:58

et après il ya le lycée de Versailles.

Avec les nombres pairs tu peux compter tous les entiers, suffit de changer un peu les noms, tu dis
0,2,4,6,8,10 quand tu vois 0,1,2,3,4,5
ça fait toc, toc, toc, toc, suivant suivant, mais comme des nombres pairs tu en as autant que tu veux tu ne seras pas coincé pour changer les noms.

Et aussi il ya autant de points dans un segment que dans le droite entiere, que dans le plan
Là faut taper google Cantor,
bijection des infinis.
le plus joli étant la lettre de Cantor à son ami mathématicien où cantor lui dit je me pince, mais pince moi plus fort, c'est-y pas vrai que j'ai une bijection du petit bout avec la droite...Grand moment de l'histoire des maths, de l'histoire des sciences cette lettre!

grantstewart
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 19 Juil 2018, 14:27

Merci, beagle, pour cette superbe explication !
Il y a donc différentes manières de voir l'Infini….

En outre, est-il possible de comparer les Alephs entre eux en instaurant une relation d'ordre dans l'ensemble des Alephs ?
Par exemple, l'Aleph de l'ensemble des Réels est-il supérieur à l'Aleph de l'ensemble des Entiers Naturels ????
Modifié en dernier par grantstewart le 19 Juil 2018, 15:56, modifié 1 fois.

beagle
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par beagle » 19 Juil 2018, 14:55

je vais laisser les autres répondre,
en matière de relation d'ordre c'est toi qui m'a épaté hier suite à la réponse de hdci,
donc sur les terminologies je laisse les copains répondre,
j'ai une licence amateur seulement, pas pro!

hdci
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 19 Juil 2018, 16:43

Oui, les différents infinis sont hiérarchisés.

Pour faire simple : le premier infini est l'infini dénombrable, c'est celui de (et de , car ces ensembles sont en bijection les uns avec les autres). (D'un point de vue plus formel, le cardinal d'un ensemble est le plus petit ordinal avec lequel l'ensemble peut être mis en bijection).

Par contre, on montre que , l'ensemble des parties de , est de cardinal strictement plus grand que celui de (autrement dit : il n'existe pas de bijection entre et , mais il y a une injection canonique de dans ).

Ceci est vrai d'ailleurs pour tous les ensembles : il n'y a pas de bijection entre un ensemble et l'ensemble de ses parties. Donc le cardinal de est strictement plus grand que celui de

Et caetera...

On montre également (c'est un peu plus ardu mais accessible) que a le même cardinal que

Une grande question est : y a-t-il un cardinal strictement compris entre celui de et celui de ? A cette question, des mathématiciens géniaux (ou fous ?) ont démontré que c'était indécidable : c'est-à-dire, que si la théorie des ensembles (ZFC pour les intimes) à laquelle on ajoute l'axiome "il existe un cardinal strictement compris entre et " est cohérente, alors la théorie ZFC à laquelle on ajoute l'axiome "il n'y a pas de cardinal strictement compris entre et " est également cohérente.

Du coup, décider s'il y en a un ou pas, c'est une question d'axiome : c'est ce qu'on appelle "l'hypothèse du continu" (il n'y a pas de cardinal entre et ), ou encore plus fort, "hypothèse du continu généralisé" qui dit qu'il n'y a pas de cardinal strictement compris entre un ensemble infini et l'ensemble de ses parties.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

grantstewart
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 19 Juil 2018, 17:20

Bravo hdc !

C'est, à nouveau, Toi qui remportes l'énigme mathématique des Alephs….

beagle
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par beagle » 19 Juil 2018, 18:16

grantstewart a écrit:Bravo hdc !

C'est, à nouveau, Toi qui remportes l'énigme mathématique des Alephs….


Ptain y va mettre une relation d'ordre dans les réponses de chacun de ses fils? :lol:

Pseuda
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par Pseuda » 20 Juil 2018, 12:24

Bonjour,

Super hdci ! Merci bien.

grantstewart
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par grantstewart » 31 Juil 2018, 15:10

Afin de poursuivre cette conversation sur les Alephs, voici une question compliquée...
J'ai l'habitude de donner des notes supérieures à à certains de mes élèves...

Ai-je le droit d'utiliser la note de ?
La grandeur -ω est-elle compatible avec l'entier naturel ?

beagle
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par beagle » 31 Juil 2018, 15:33

aucun problème, tu iras plus vite pour faire les moyennes trimestrielles.

hdci
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Re: A propos de la diversité des Alephs

par hdci » 31 Juil 2018, 16:22

beagle a écrit:aucun problème, tu iras plus vite pour faire les moyennes trimestrielles.

C'est clair ! est le premier cardinal infini (dénombrable), le premier cardinal strictement supérieur à , et bien que la soustraction n'ait pas de sens dans les ordinaux infinis, l'arithmétique des cardinaux dit que l'addition, la multiplication et même l'exponentiation d'un cardinal infini par un cardinal inférieur est égal au cardinal infini lui-même, on peut imaginer que et les moyennes vont forcément donner .

Plus besoin de calculer quoi que ce soit !
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

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