Problème de Monty Hall et... Les 12 coups de midi !

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Linkinito
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Problème de Monty Hall et... Les 12 coups de midi !

par Linkinito » 09 Nov 2013, 20:01

Bonjour à tous. Ou bonsoir, ça dépend à quelle heure vous lisez ceci. :)

Il y a pas mal de temps, j'ai découvert le Problème de Monty Hall, qui est un problème de probabilité conditionnelle. Un sujet qui au départ m'a surpris mais qui au final m'a particulièrement intéressé.

Et après avoir regardé ses différents parallèles sur d'autres sujets (notamment l'ancien jeu de TF1, A Prendre ou à Laisser, que j'adorais, mais qui au final n'est pas concerné par le problème de Monty Hall comme expliqué dans l'article Wikipédia), récemment, une autre émission m'a fait tiquer et m'a rappelé ce fameux problème de Monty Hall : Les 12 coups de midi. Et plus particulièrement la deuxième épreuve, appelée le coup par coup.

Dans cette épreuve, le principe est simple : trois candidats doivent répondre à une question à choix multiple. ll y a 7 propositions de réponses, 6 d'entre elles sont bonnes. Du coup, les candidats peuvent répondre au maximum deux fois. Le candidat qui sélectionne la mauvaise réponse perd donc un point (dans la terminologie du jeu, il passe à l'orange, s'il refait une erreur, il passe au rouge, et c'est un duel éliminatoire). Exemple de question :
Parmi ces cyclistes, qui a déjà remporté au moins une fois le Tour de France ? (l'erreur est en rouge)
- Christopher Froome
- Bernard Hinault
- Alberto Contador
- Cadel Evans
- Jan Ullrich
- Joop Zootemelk
- Raymond Poulidor

Lorsqu'un candidat sélectionne une bonne réponse, la réponse disparaît et c'est au candidat suivant de répondre, jusqu'à ce que quelqu'un sélectionne l'intrus, ou alors quand tout le monde répond juste. Et c'est là que le parallèle avec Monty Hall commence : c'est un peu un problème de Monty Hall à l'envers, où il y a 6 voitures et 1 chèvre. Le but étant bien évidemment de ne pas tomber sur la chèvre.

Mais cela va plus loin. J'ai remarqué que lorsqu'il ne restait plus que 2 réponses, le dernier candidat se plantait très souvent, bien loin de l'intuitif "1 chance sur 2". Du coup, après avoir regardé nombre d'émissions, j'ai fait une statistique empirique : 82 % des candidats se trompent lorsqu'il ne reste que 2 propositions de réponse... Autrement dit, pratiquement une probabilité de 6/7 de se tromper.

Et c'est là que Monty Hall m'est revenu à fond dans la tête. En effet, la probabilité de gagner la voiture, dans le problème de Monty Hall, monte lorsque le présentateur élimine une porte qui contient nécessairement une chèvre, et que le candidat change de porte. C'est assez criant avec un exemple sur 1 million de portes : on sélectionne une porte au hasard, Monty Hall en élimine 999 998 avec des chèvres, et nous propose de changer : la probabilité de gagner en changeant de porte passe à 99,9999 %. C'est sur le fait que l'animateur élimine nécessairement des portes perdantes qui fait augmenter la probabilité de gagner. Ce qui fait que ce problème ne peut pas s'appliquer à A Prendre où A Laisser, puisque c'est le candidat, qui ne sait pas ce qu'il y a derrière les portes, qui doit les ouvrir : la probabilité d'ouvrir la porte gagnante est donc non nulle.

Dans Les 12 coups de midi, il y a un facteur qui change : étant donné qu'il s'agit de questions de culture générale, c'est comme si les candidats savaient ce qu'il y a derrière chaque porte en fonction de leur savoir. Ce n'est pas du hasard. Il suffit de connaître l'intrus à la question pour être sûr d'être tranquille au prochain round. Mais du coup, pourquoi le taux d'échec à la dernière phase est-il si proche de 6/7 ?

En effet, si tout le monde répondait au hasard, la probabilité d'échec à chaque phase serait de 1/7 (14 %) - 1/6 (16 %) - 1/5 (20 %) - 1/4 (25 %) - 1/3 (33 %) - 1/2 (50 %).

Mais il semblerait que dû au fait que les personnes précédentes aient des bonnes réponses (au hasard ou pas !), il semblerait que la probabilité de se tromper en répondant au hasard à une phase augmente bien plus rapidement, faisant 1/7 (14 %) - 2/7 (29 %) - 3/7 (43 %) - 4/7 (57 %) - 5/7 (71 %) - 6/7 (86 %). Ce qui revient au problème de Monty Hall... Serait-ce donc la solution à cette variation du "problème" ?



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Ben314
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par Ben314 » 09 Nov 2013, 20:39

J'aurais plutôt tendance à penser que ça vient du coté "piégeux" des question.

Perso, je ne me suis absolument jamais intéressé au cyclisme (pas plus qu'à un quelconque autre sport "médiatisé" soit dit en passant...).
Dans la liste que tu donne comme exemple, si on me demandais l'un aprés l'autre si ces nom m'évoquent quelque chose, et si oui, quoi, ben je répondrait que ça m'évoque rien sauf pour Hinault et Poulidor où je sais que c'était des cycliste (mais j'ai pas le début de la moitié d'une idée de ce qu'ils ont pu gagner).
Donc si je devait participer à ce jeu (dieu m'en garde...) et qu'au moment ou on me pose la question il n'y a plus Hinault, ben y'a de forte chance que je réponde (bêtement) "poulidor" vu que les autres, je sais même pas si c'est des cyclistes ou pas...

Bon, après, des aussi inculte que moi au niveau sport "médiatisé", il doit pas y en avoir des masses, mais n’empêche que je dirais bien que la raison pour laquelle les joueurs se trompent plus d'une fois sur deux lorsqu'il reste 2 possibilités, elle est plutôt à chercher de ce coté là qu'à travers un modèle mathématique.
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Ben314
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par Ben314 » 09 Nov 2013, 20:56

Sinon, un truc qui serait marrant à observer, c'est si ton 86% (d'erreur quand il n'y a que deux réponse) évolue dans le temps ou pas.
Je m'explique :

Si je joue, qu'il ne reste que "Cadel Evans" et "Raymond Poulidor" : l'un des deux m'est totalement inconnu et l'autre je sais juste que c'est un cycliste mais j'ai aucune idée s'il a gagné le tour ou pas.
Perso, sans en savoir plus, je dirais sans doute "Poulidor".

MAIS, si je sait que dans 86% des cas les joueurs se gourent lorsqu'il ne reste que 2 réponse possible, alors je n'hésiterais pas une seconde à dire "Evans" vu que je ne suis absolument pas sûr de moi avec "Poulidor" (et je pense que je serait loin d'être le seul à suivre ce raisonnement là...)
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Linkinito
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par Linkinito » 09 Nov 2013, 23:02

Je n'ai sorti la question sur le cyclisme qu'à titre d'exemple. Il y a des questions sur à peu près tout et n'importe quoi, des questions people à celles de géographie en passant par l'histoire... Vraiment, de la culture générale. Et franchement, lorsqu'il ne reste que deux réponses, quand on ne sait pas, les 2 réponses semblent aussi piégeuses l'une que l'autre. Ici, j'ai sorti une question un peu piégeuse comme exemple, mais lorsqu'il y a des trucs du genre "qui a fêté ses 50 ans en 2013" et que la mauvaise réponse fête en fait ses 52 ans...

Je pourrais imputer les plus de 80 % de mauvaises réponses à la dernière phase que les candidats sont aussi bêtes que leurs pieds mais je ne prend pas en compte cette hypothèse. En général, cela arrive à la toute première réponse, quand ils vont chercher midi à 14 heures et qu'ils tombent direct sur la mauvaise réponse alors qu'il y avait des évidences que même un enfant de 4 ans saurait...

C'est juste que les candidats, qui sélectionnent plus ou moins au pif leur dernière réponse se plantent quasiment systématiquement, alors que ceux qui savent ont "logiquement" la bonne réponse. Normalement, si on choisit au pifomètre parmi les 2 réponses erronées, la logique voudrait qu'on ait une chance sur 2 de se planter... Or empiriquement on approche les 6 chances sur 7 !

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Ben314
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par Ben314 » 09 Nov 2013, 23:54

Je n'ai jamais regardé cette émission, donc je ne sais pas si l'exemple que tu donne est caricatural ou s'il représente le "modèle" des questions posées.
Il est clair que, avant l'émission, il y a quelqu'un qui "fabrique" les questions et mon problème est de savoir s'il prend les réponse "au hasard" ou s'il ne cheche pas un peu à "piéger" les candidats.

Concernant la seule question du jeu que je connaisse (i.e. l'exemple que tu propose), pour obtenir les 7 noms, tu pourrait tirer au hasard le nom de 6 gagnants du tour de françe, puis tirer au hasard le nom d'un cycliste qui n'a jamais gagné (par exemple parmi ceux qui on fait au moins une fois deuxième ou troisième au tour de françe).
Sauf que là, bingo, le nom de "l'erreur" fait parti (à mon avis) des 2 noms de cyclistes les plus connus en Françe donc j'ai des doute sur le fait que le nom de Poulidor ait été tiré "au hasard" parmi les cyclistes n'ayant jamais gagné le tours de Françe et j'aurais plutôt tendance à penser que le type qui prépare les question a VOLONTAIREMENT mis poulidor dans la liste car il est célèbre ET il n'a jamais gagné le tour.
Si toutes les question sont fabriquées avec la même volonté, ç'est (à mon avis) largement suffisant pour expliquer les 86% d'erreurs lorsqu'il ne reste que 2 questions.

Sait tu comment sont préparés les questions
-> Tirage aléatoire par un ordi (là effectivement, il faut s'étonner du fameux 86%)
-> Ou c'est quelqu'un qui les choisi (et là il faudrait savoir quelles consigne il a pour son choix...)

P.S. Mon raisonnement n'est appuyé que sur UN exemple (le seul que j'ai) donc il ne vaut pas grand chose, mais sur cet unique exemple, il me semble franchement clair que les noms n'ont pas été tiré "au random" mais avec la volontiée de piéger ceux qui connaissent un tout petit peu le domaine mais pas assez pour avoir la certitude de leur réponse.
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LinnkruG
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par LinnkruG » 13 Jan 2014, 17:33

J'arrive évidemment après la bataille étant tombé par hasard sur votre passionnant forum mais...

Il me semble que le raisonnement de départ de Linkinito omet un paramètre important : il s'agit d'une émission de télé. Qui dit émission de télé, dit montage : lors du "coup par coup", toutes les questions de sont pas diffusées (je parle en connaissance de cause, je suis un ancien candidat récurrent du jeu).

En effet, les questions n'étant pas excessivement difficiles, il arrive souvent que les candidats ne donnent pas la mauvaise réponse (chaque candidat a donné deux bonnes réponses). La production coupe fréquemment les questions n'entrainant pas d'erreurs pour de simples raisons d'impératif temps. L'émission ayant un temps imparti, on ne pourrait pas diffuser la douzaine de questions "coup par coup" qu'il faut parfois poser pour que l'un des trois candidats se trompe deux fois (ce qui arrête la séquence). A ce sujet, il ne faut y voir aucune manipulation, une question qui n'occasionne pas de mauvaise réponse n'influant pas sur le cours du jeu.

Les 82% de mauvaises réponses sont donc une statistique qui ne prend en compte que les questions diffusées et non toutes les questions posées. Dans mon souvenir, on doit tendre vers les 50% quand les candidats n'ont plus que deux réponses au choix.

Pas de Monty Hall là dedans, juste du montage.

 

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